隨機(jī)利率下再保險(xiǎn)與最優(yōu)投資策略的研究

◆于 蕾

隨機(jī)利率下再保險(xiǎn)與最優(yōu)投資策略的研究

◆于 蕾

對(duì)于很多公司為了擴(kuò)大規(guī)模，增強(qiáng)本公司在此行業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)力，投資是是一種重要的選擇。同時(shí)，保險(xiǎn)公司為了進(jìn)一步的降低公司自身的風(fēng)險(xiǎn)，尋找再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)也是必由之路。本文主要討論了保險(xiǎn)公司的投資再保險(xiǎn)等問題，主要根據(jù)隨機(jī)利率展開研究。隨機(jī)利率下的最優(yōu)再保險(xiǎn)投資，主要集中在常數(shù)波動(dòng)率的利率模型下對(duì)保險(xiǎn)公司具有促銷預(yù)算的研究。隨機(jī)利息率下投資和再保險(xiǎn)相結(jié)合的研究在數(shù)學(xué)處理上難度很大。本文創(chuàng)新性地引入促銷預(yù)算，使再保險(xiǎn)在一種更加合理的形式下給出了問題的解決方案。

再保險(xiǎn)；隨機(jī)利率；最優(yōu)投資；最優(yōu)策略

引言

再保險(xiǎn)指的是保險(xiǎn)公司將拿出它所承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)和責(zé)任中的一部分讓其他保險(xiǎn)公司來分擔(dān)，也常常被稱作分保，進(jìn)行了再保險(xiǎn)的保險(xiǎn)公司稱為割讓公司。歐洲海上貿(mào)易的發(fā)展催生了早期的再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，最早的再保險(xiǎn)合同可追溯到公元1370年，那正是歐洲海上貿(mào)易大發(fā)展的時(shí)期。中國(guó)的再保險(xiǎn)市場(chǎng)通過不斷擴(kuò)大開放，吸引越來越多的國(guó)際再保險(xiǎn)公司進(jìn)入到中國(guó)市場(chǎng)，目前已有法國(guó)再保險(xiǎn)、通用再保險(xiǎn)、慕尼黑再保險(xiǎn)、沒諾威再保險(xiǎn)、勞合社、瑞士再保險(xiǎn)等多家國(guó)際再保險(xiǎn)巨頭在中國(guó)大陸設(shè)立機(jī)構(gòu)。用更理性、更嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法來研究再保險(xiǎn)問題是從20世紀(jì)中期后開始的。

一、隨機(jī)利率下最優(yōu)再保險(xiǎn)－投資策略研究

隨機(jī)利息率模型是指以瞬時(shí)即期利率作為隨機(jī)狀態(tài)的一個(gè)變量，用一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的隨機(jī)過程來描述利息率的變化的數(shù)學(xué)模型。其最明顯的特征是指定當(dāng)前的即期利率時(shí)，但不能知道整個(gè)收益率曲線

(一)除了單因素短期利率模型之外，還有多因素短期利率模型。下面是單因素短期利率模型：

Merton模型（1973）將短期利息率描述成

其中常數(shù)r0為初始時(shí)刻利息率，這里為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

Ho-Lee模型（1986）將短期利息率描述成

我們使用Ho-Lee（1986）模型來研究利息率的擴(kuò)散過程，其中現(xiàn)金資產(chǎn)的瞬時(shí)利息率為

在時(shí)間t≥0時(shí)的股票市場(chǎng)指數(shù)價(jià)格可表示為：

在Ho-Lee模型中，利息率的波動(dòng)b＞0，而布朗運(yùn)動(dòng)可正可負(fù)。

保險(xiǎn)公司用財(cái)富的固定份額作為預(yù)算從每個(gè)時(shí)刻t收取保費(fèi)中減掉。

保險(xiǎn)公司的目標(biāo)是讓最終財(cái)富的期望效用達(dá)到最大化。

二、隨機(jī)利率下具有促銷巧算模型的求解

使用期望效用最大化標(biāo)準(zhǔn)，保險(xiǎn)公司的目標(biāo)是最大化終端財(cái)富的期望效用，效用函數(shù)選用冪效用（常數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡）形式

常數(shù)δ∈ (0,1)是保險(xiǎn)公司的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。效用函數(shù)在數(shù)學(xué)精算和保險(xiǎn)實(shí)踐中起著重要的作用，對(duì)于容許策略對(duì)于t時(shí)刻的狀態(tài)定義值函數(shù)為

三、總結(jié)

風(fēng)險(xiǎn)數(shù)學(xué)理論開啟了保險(xiǎn)和再保險(xiǎn)領(lǐng)域研究發(fā)展的新篇章。在現(xiàn)代社會(huì)經(jīng)濟(jì)實(shí)踐中，用促銷來吸引客戶也是一種重要方式，保險(xiǎn)公司也是這樣。這種方式既可以讓利給客戶，又可以吸引更多客戶利的雙贏舉措，是值得關(guān)注的。

[1]李哈虹，王春峰，吳啟權(quán)，隨機(jī)長(zhǎng)短期利率和通貨膨脹下的資產(chǎn)配置問題研究，北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2005，7（6）30-33.

[2]遲國(guó)泰：劉冬，杜娟，隨機(jī)利率下的比例賠付保險(xiǎn)模型，運(yùn)籌與管理，2007，16（3）：114-118.

（作者單位：渤海大學(xué)）