經歷活動過程 促進模型建構

李桂芬

“植樹問題”是研究生活中有關間隔現象蘊含規律的問題，屬于綜合實踐課程。人教版教材的“數學廣角”將此內容由原來四下推延至五上，做這樣的調整，說明該內容有其復雜和抽象的因素。如何設計才能讓學生深刻理解規律又能經歷探索實踐過程？

一、先學后教，敦促學生進入深度學習

學生只有進入深度學習狀態，才能夠透徹理解概念、規則等學習內容的意義，才能夠舉一反三進行知識遷移、變式應用。而學生要進入深度學習，教師就必須有“讓學”與“撤教”意識，從“課堂講授”轉向“組織學習”。放大學生的“學”，讓學生真正走到“前臺”來。“植樹問題”例1是本單元間隔排列問題的開啟課，學生沒有有關間隔排列特點的感性積累，缺乏實踐活動經驗，如果沒有做好學生的學習方法指導，勢必影響后續例題的學習和應用。所以有必要利用課前時間讓學生先去閱讀教材，根據旁注、提醒去完成預習，利用課前充足的時間研究相關聯的知識點，觸及重難點的思考，形成本單元本課時“學什么、為什么學、怎么學、學有什么用”的課前先學思考模式。

【課前先學】

1. 預習課本第106頁例1的內容，理解例題的解題思路。

2. 100米的小路，每20米分一間隔，這條小路有幾個間隔？（畫圖幫助理解）

求間隔數=（ ）÷（ ），分了（ ）次。

3. 同學們要在全長50米的小路一邊植樹，如果每隔10米栽一棵，你有幾種不同的設計方案？請畫出圖來，這三種不同栽法，分別稱為（ ）、（ ）、（ ）。

如果小路兩端都栽，需準備多少棵樹？怎么列式計算？請畫圖分析。

如果每隔5米栽一棵，需準備多少棵？你發現了什么？

4. 觀察你身邊的事例，哪些事物是這樣間隔排列的？

通過課前畫一畫、分一分的嘗試練習，讓學生對間隔排列的三種不同現象有了提前感知，為探索兩端都栽的情況做好鋪墊，而規律的發現與概括則需要較多例子的對比分析才能達成共識，有必要利用課前時間動手、動腦，獲得初步的思考。

二、滲透數學思想方法，領會問題解決策略

“植樹問題”例1兩端都栽的關鍵是滲透一一對應、化繁為簡、數形結合的數學思想方法，其中一一對應最為關鍵，學生必須明晰對應思想的含義，才能理解樹和間隔是怎么對應的。所以課始就必須讓學生充分感知一一對應的含義和作用。

【教學片段1】

教師展示圖片，一為無序排列，一為一一對應排列。

師：請同學觀察（圖略），你能快速判斷哪幅圖的方片多還是圓圈多嗎？

師：這種一個對著一個地排列，在數學上稱為一一對應，應用它可以幫助我們解決生活中的問題。今天我們就化方片為樹，化圓圈為間隔，采用一一對應的方法來研究植樹問題中樹的棵數和間隔存在什么規律。

通過情境創設讓學生直觀感受到方片與圓圈無序的排列無法做到清楚、快速，而一對一對地出示有條理又有規律，是解決問題的好策略，掌握一一對應數學思想意義重大。

【教學片段2】

教師引導學生用畫圖法解決例1問題。

師：要畫很多次，麻煩！而且也不方便發現規律，怎么辦呢？

生：把小路長度縮短為30米畫圖分析就簡單了。

生：把每個間隔的長度拉長為20米栽一棵，畫圖分析就不麻煩了。

師：是的，信息中的數據較大可采用化繁為簡的方法去研究，畫線段圖直觀明了便于觀察發現，這是數形結合的數學思想，應用這兩種思想方法能夠幫助我們更快地發現樹與間隔之間的關系。

在這一環節，教學的目的是讓學生理解數學思想方法的含義，掌握解題策略，讓后續的觀察分析活動更加有的放矢，為發現樹與間隔之間的規律打下基礎。

三、經歷數學活動過程，交流反饋建構模型

在兩端都栽的植樹問題教學中，樹和間隔的對應關系及隱藏其中的規律如何讓學生印象深刻，學生需要進行怎樣的探索活動才能有序觀察并形成對規律的認知，從而建構起兩端都栽植樹問題的模型結構，是課時教學的核心所在。有了前面三個數學思想方法的啟發指導，教師可以放手讓學生去實踐探索，如此更能豐富過程經歷。

【教學片段3】

1. 自主探究發現規律。

在全長（ ）米的小路一邊植樹，每隔（ ）米栽一棵（兩端都栽），一共要栽多少棵？

操作要求：①自主確定方便探究的數據，畫線段圖說明樹是怎么栽的。②發現了什么？采用什么方法幫助解決問題？③列式解答。

2. 小組交流討論：①把自己的發現在小組內交流，說清發現的過程，組長做好記錄。[小路總長度、每個間隔的長度、有幾個間隔（間隔數）、一共要栽幾棵（棵樹）]②通過記錄的數據發現了什么？得出什么？

學生課前先學是否對概念理解透徹，是否進入深度思考發現規律？此時要安排學生經歷個人獨學的過程，而這必須和“先學”不雷同且有提升，才能引發學生深入思考。自主確定數據意在激活學生的學習熱情，讓他們能夠踴躍參與活動過程。由于學生已有課前先學的思考，對這類問題有一定的認知經驗和探究體驗，此后進入小組合作匯報水到渠成。

在小組合作學習過程中，同伴探究資源的相互補充使學生對知識有多層次的感悟和思想升華，體驗到同伴間相互學習的好處，獲得分工協作、完善學習方案的合作學習經驗。通過展示“后教”中學生經歷活動發現規律的思考過程，在互動中達成共識，提升思維品質，加強課堂教學深度，建構起植樹問題的數學模型。

四、聯系生活，遷移應用夯實模型

通過展示反饋讓學生建構植樹問題的數學模型，而能否應用模型特征去解釋生活中的現象，就需要教師的引導和檢測。

【教學片段4】

師：生活中有哪些現象屬于間隔排列問題呢？它們當中什么物體和什么物體一一對應？

生：同學排隊，教室的桌椅排列，手指的排列等。

課件補充展示：鋸木頭、樓梯與樓層、插紅旗、公路的路燈、擺花盆、時鐘鐘聲與停頓等屬于間隔排列的現象。

學生是否真正理解間隔現象的規律，就在于能否自覺辨析物體的一一對應關系，其中剩下什么事物沒有對應，像鋸木頭、時鐘鐘聲與停頓、樓梯和樓層等現象就很容易產生混淆。通過聯系生活，給予學生應用反思的機會，進一步應用掌握的方法舉一反三，夯實數學模型的建構。

（作者單位：福建省東山縣銅陵中心小學）endprint