基于浸入與不變原理的四旋翼姿態系統反步滑模控制

夏琳琳，叢靖宇，馬文杰，趙 耀，劉惠敏

（1.東北電力大學 自動化工程學院，吉林 132012；2.東北電力大學 理學院，吉林 132012；3.青島農業大學 機電工程學院，青島 266109）

基于浸入與不變原理的四旋翼姿態系統反步滑模控制

夏琳琳1，叢靖宇1，馬文杰2，趙 耀1，劉惠敏3

（1.東北電力大學 自動化工程學院，吉林 132012；2.東北電力大學 理學院，吉林 132012；3.青島農業大學 機電工程學院，青島 266109）

針對較大幅度外部不確定擾動下的四旋翼姿態穩定問題，設計了一種基于浸入與不變原理（I&I）的自適應反步滑模控制器（ABSMC）。首先建立了未知大擾動下四旋翼姿態系統動力學模型，然后以橫滾角子系統搭建為例，設計并應用了反步法和基于趨進率的滑模控制策略。在擾動估計誤差流型設計中，融合了I&I原理，即自適應率的選取實現了誤差流型的不變和吸引，確保估計誤差收斂到0。最后，對系統進行了穩定性分析和數字仿真。結果表明，在較大未知擾動情況下，融合I&I原理方法后，經10 s所測跟蹤誤差平方的累加和僅為傳統ABSMC方法的11.2%，控制精度大幅提高。

四旋翼；姿態系統；浸入與不變原理；反步法；滑模控制

四旋翼飛行器的動力學模型具有非線性、強耦合、高階數等特點[1]。得益于自身可垂直起降、可懸停等靈活機動的特性，廣泛應用于近地環境下的航拍、刑偵、風力發電設備檢修、環境監控及交通管理等領域。在多旋翼無人機家族中，四旋翼系統的機械結構最為簡單、緊湊，對稱的旋翼可同時完成逆時針或順時針旋轉，這種旋翼布局可以抵消螺旋槳引起的陀螺效應，產生更大的升力。注意到，在 MEMS（微機電）、新型傳感器及新型材料等相關技術的推動下，搭載MIMUs（微慣性測量元件）、小型成像設備（照相機、攝像機）、磁羅盤、GPS接收機等導航設備的四旋翼系統還可實現近地面環境下的導航、定位與通信。

本文對四旋翼無人機的姿態控制系統開展專門研究。為確保飛行控制系統在風力擾動、陀螺效應、重力及旋翼慣量矩等諸多物理效應[2-3]影響下的控制效果，在傳統自適應反步滑模控制（ABSMC）算法基礎上，提出融合浸入與不變（I&I）原理的ABSMC算法，涉及滑模面的選擇以提升系統魯棒性，反步法的設計以抑制系統抖動，Lyapunov函數的選擇以確保系統狀態收斂等內容。同時，在對自適應滑模器控制率和自適應率的選擇上，引入了基于I&I原理的誤差流型設計理念，確保了系統的穩定性，提升了控制精度與擾動估計誤差收斂效果。這部分研究內容將在第2～4節進行詳盡闡述。作為必備基礎內容，本文開篇給出四旋翼系統動力學模型及控制系統結構。

1 四旋翼系統動力學模型及控制系統結構

飛行控制方面，在外部傳感器已提供了卓越的導航信息、機載電池已提供了穩定的動力能源的情況下，我們還需要對飛行狀態進行數學建模。其中，由于6個自由度中的姿態與位置具有直接耦合關系，是否實現精確的姿態控制直接影響后續速度與位置控制的效果。

1.1 系統動力學模型

考慮到未知大幅度外部擾動的影響，結合文獻[4]，建立非線性四旋翼姿態系統的動力學模型，表示為

1.2 控制系統結構

如前所述，四旋翼系統中，姿態與位置存在直接的耦合關系，即橫滾角/俯仰角的變化直接引起機體向前后/左右移動，因此，位置系統并不僅僅由位置控制量實施控制，還要由實時的姿態角進行調節。所設計的控制系統結構如圖1所示。該系統為雙閉環結構，通過信號發生器給出期望的位置軌跡和期望的偏航角，在位置控制器中根據位置系統動力學方程以及期望的位置計算出兩個期望的虛擬姿態角后連同給定的期望偏航角送至姿態控制器，這樣外環是實施PD控制率的位置系統，其輸出是四旋翼的總體升力控制量，內環是本文研討的姿態系統輸出的三個姿態角的控制力矩。

圖1 四旋翼控制系統結構圖Fig.1 Structure diagram of quadrotor control system

如文獻[5-6]所述，在雙閉環結構的控制系統中，內環的動態性能對外環的穩定性影響很大。針對這一問題，工程上一般使用內環收斂速度大于外環的控制策略。在上述四旋翼控制系統中，內環的姿態跟蹤誤差會影響外環位置系統的穩定性，進而對整個系統的穩定性造成影響。我們考慮通過合理地選取內環姿態控制率和自適應率，來確保整機系統的穩定性。具體方法是：控制率的設計結合了反步法，解決了系統抖動、控制不連續等問題；自適應率的設計中引入了額外的補償項，保證了估計誤差的收斂性，也提高了系統的抗干擾能力。第3節將給出詳盡的設計方法。

2 自適應反步滑模控制器(ABSMC)設計

由于姿態系統是整個飛行控制的關鍵，國內外相關實驗室、高校和科研機構已投入了大量研究工作，文獻[7-9]著眼于 PID、滑模、自適應等諸多控制方法的研究，致力于獲得更優的非線性控制效果，以提升系統的控制性能。

滑模控制方法的優點是當系統到達滑模面時，其運行狀態只取決于滑模面，而與系統的原參數無關（抑制了參數不確定性[10]）。由于該性能是通過控制量的高頻抖動換取的，此方法在實際工程中受到限制。注意到，反步法是一種基于Lyapunov函數的構造性方法，其首先將系統分解為低階的子系統，然后分別設計各子系統的Lyapunov函數和虛擬控制量，再一步步反推，從而確保整個系統的穩定性。結合兩者的優勢，以下以橫滾角子系統為例，給出傳統ABSMC的實現原理。

改寫式(1)中滾轉角子系統的動力學模型，表示為

定義位置誤差：

其中，x1d表示橫滾角的期望值。

定義估計誤差：

由滑模設計方法，設計滑模面為

其中，系數λ1＞0，則：

引入自適應算法，取Lyapunov函數，表示為

誠然，該設計方法可以保證系統全局是漸進穩定的。然而，系統對未知擾動估計誤差的動態變化過程是無法調節的，這一現象雖然不會影響系統最終的穩定性，但有時會對系統的暫態響應造成嚴重的影響。

基于浸入與不變原理的自適應方法可以很好地解決這個問題。

3 基于浸入與不變原理（I&I）的自適應反步滑模控制器設計

I&I原理是通過設計流型并保持其吸引與不變，來維持系統穩定的。本文對誤差估計建立流型，通過對控制率和自適應率的設計確保估計誤差收斂到0。

仍以橫滾角子系統為例，根據式(2)及式(7)中關于f的定義，有：

定義誤差流型：

假定上述流型能夠不變，則擴展橫滾角子系統模型，對照公式(15)，有：

由公式(4)～(6)的反步法設計Lyapunov函數，為了保證負定，需要再設計函數，根據式(16)及式(17)中關于的定義，有：

以下完成控制率設計，令：

對擾動估計誤差求導，有：

4 穩定性分析

由于滑模控制的切換增益η1需大于擾動估計誤差絕對值的最大值才能保證負定，這里令有：

注意到，指數形式的趨近率可以改進系統的動態品質，但隨著符號函數的引入而帶來的不連續性問題卻容易造成系統控制量的抖動。為了進一步抑制抖動發生，可采用相應的雙曲正切函數為較小的正數）代替符號函數這部分內容將在后續數字仿真與分析中予以證明。

由于歐拉角各角度具有相同的特性，其余兩個子系統的設計可參照完成，在此不再贅述。

5 數字仿真

5.1 仿真條件與初值

參照文獻[12]中關于 PD外環位置系統中虛擬控制量的選取，得到：

該姿態系統動力學模型的參數取值如表1所列。

表1 姿態系統動力學模型中參數取值Tab.1 Parameter values in the dynamic model of attitude system

5.2 仿真結果與分析

圖2給出了I&I方法下，姿態系統狀態的相平面，從中可以看出，通過對控制率和自適應率的設計，確保了系統誤差及其變化率收斂到0，整個系統漸進穩定。

圖2 姿態系統誤差相平面Fig.2 Error phase plane for attitude system

為了比較滑模運動中趨近率的設計在采用及未采用連續切換函數時兩種情況對系統控制量的影響，圖3和圖4分別給出了在符號函數、雙曲正切函數作用下，系統控制量的變化曲線。

圖3 符號函數作用下的控制量變化曲線Fig.3 Changing curves of controlled variables by sign function

圖4 雙曲正切函數作用下的控制量變化曲線Fig.4 Changing curves of controlled variables by hyperbolic tangent function

圖5 傳統ABSMC方法的三軸擾動力矩估計Fig.5 Tri-axial torque disturbance estimates by classic ABSMC

圖 5和圖 6分別給出了相同仿真條件下，傳統ABSMC和本文方法所獲得的三軸擾動力矩估計效果，其中，紅色虛線代表實際真值，黑色實線代表估計值。圖7和圖8為對應的擾動估計誤差。

可以看出，傳統ABSMC對擾動的跟蹤誤差較大，本文方法由于在自適應率中引入I&I原理，從而大幅提高了對外部未知擾動的適應能力，指數率及比例積分形式的補償項促使收斂速度不斷提升，更快地調整了擾動估計與給定擾動相一致。圖8表征了三軸擾動估計誤差已完全收斂，進一步直觀地驗證了這一效果。

圖6 本文方法的三軸擾動力矩估計Fig.6 Tri-axial torque disturbance estimates by method adopted

圖7 傳統ABSMC方法的三軸擾動力矩估計誤差Fig.7 Tri-axial torque disturbance estimates error by classic ABSMC

圖8 本文方法的三軸擾動力矩估計誤差Fig.8 Tri-axial torque disturbance estimates error by method adopted

圖9和圖10分別給出了相同仿真條件下，傳統ABSMC和本文方法所獲得的歐拉角角度跟蹤效果，其中，紅色虛線代表期望角度，黑色實線代表實際角度。選用有限時間偏差平方值積分（ISE）的比值B來衡量二者的跟蹤效果，在仿真時間10 s時有：

式(27)表明本文方法在10 s內跟蹤誤差平方的累加和僅為傳統方法的11.2%，控制精度大幅提高。

圖9 傳統ABSMC方法的角度跟蹤效果Fig.9 Angle tracking by classic ABSMC

圖10 本文方法的角度跟蹤效果Fig.10 Angle tracking by method adopted

圖 9～10這組對比圖同樣證明了基于 I&I原理的ABSMC方法在角度跟蹤方面具有更優的性能。傳統方法對于擾動估計的不足導致了跟蹤的誤差較大，而本文方法可以對外部擾動做出及時地估計，在提高魯棒性的同時，進一步提升了控制精度。

6 結 論

本文對四旋翼無人機的姿態系統開展專門研究，以橫滾角子系統為例，探討基于浸入與不變（I&I）原理的自適應反步滑模控制（ABSMC）策略，在確保物理系統穩定工作的前提下，解決了飛行控制系統對于較大幅度外部不確定擾動下的精確誤差估計與穩定跟蹤問題。相同條件下的仿真對比表明，基于I&I原理的ABSMC在獲得優化的擾動估計效果方面具備更卓越的性能，可實現三軸擾動估計誤差的完全收斂以及姿態角的無差跟蹤。同時，該方法為滑模控制中控制率與自適應率的設計提供了模型參考。

（References）：

[1]范云生, 曹亞博, 趙永生.四旋翼飛行器軌跡跟蹤控制器的設計與驗證[J].儀器儀表學報, 2017, 38(03): 741-749.Fun Y S, Cao Y B, Zhao Y S.Design and validation of trajectory tracking controller for quadrotor[J].Chinese Journal of Scientific Instrument, 2017, 38(3): 741-749.

[2]張居乾, 任朝暉, 周來宏, 等.基于指數收斂的四旋翼無人機魯棒自適應飛行控制[J].中國慣性技術學報,2016, 24(4): 548-553.Zhang J Q, Ren C H, Zhou L H.Robust and adaptive flight control of quadrotor based on exponential convergence[J].Journal of Chinese Inertial Technology, 2016, 24(4): 548-553.

[3]竇景欣, 孔祥希, 聞邦椿, 等.四旋翼無人機模糊自抗擾姿態控制及穩定性分析[J].中國慣性技術學報,2015, 23(6): 824-830.Dou J X, Kong X X, Wen B C.Attitude fuzzy active disturbance rejection controller design of quadrotor UAV and its stability analysis[J].Journal of Chinese Inertial Technology, 2015, 23(6): 824-830.

[4]Bertrand S, Guénard N, Hamel T, et al.A hierarchical controller for miniature VTOL UAVs: Design and stability analysis using singular perturbation theory[J].Control Engineering Practice, 2011, 19(10): 1099-1108.

[5]Jankovic M, Sepulchre R, Kokotovic P V.Constructive Lyapunov stabilization of nonlinear cascade systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 1996, 41(12): 1723-1735.

[6]Zhao B, Xian B, Zhang Y, et al.Immersion and invariance based adaptive attitude tracking control of a quadrotor UAV in the presence of parametric uncertainty[C]//2014 33rd Chinese Control Conference.Nanjing,China, 2014: 1932-1937.

[7]Yang K S, Cheng C C.Robust adaptive controller design for a quadrotor helicopter[J].Applied Mechanics &Materials, 2013, 284-287: 2296-2300.

[8]Gong X, Hou Z C, Zhao C J, et al.Adaptive backstepping sliding mode trajectory tracking control for a quad-rotor[J].International Journal of Automation and Computing, 2012, 9(5): 555-560.

[9]Pounds P E, Bersak D R, Dollar A M.Stability of small-scale UAV helicopters and quadrotors with added payload mass under PID control[J].Autonomous Robots,2012, 33(1): 129-142.

[10]曾令全, 王美琪, 張佳琦, 等.基于滑模控制的大型變速風機的最大風能捕獲研究[J].東北電力大學學報,2017, 37(2): 31-38.Zeng L Q, Wang M Q, Zhang J Q, et al.Maximum power point tracking of large scale variable speed wind turbine based on sliding mode control[J].Journal of Northeast Electric Power University, 2017, 37(2): 31-38.

[11]侯小燕, 薛文濤, 張晨.基于浸入與不變的氣動彈性系統反演滑模控制[J].航天控制, 2016, 34(4): 3-9.Hou X Y, Xue W T, Zhang C.Backstepping sliding mode control of aeroelastic system based on immersion and invariance[J].Aerospace Control, 2016, 34(4): 3-9.

[12]劉金琨.先進PID控制MATLAB仿真(第4版)[M].北京: 電子工業出版社, 2016.

Backstepping sliding mode control of quadrotor attitude system based on immersion and invariance

XIA Lin-lin1, CONG Jing-yu1, MA Wen-jie2, ZHAO Yao1, LIU Hui-min3
(1.School of Automation Engineering, Electric Power University, Jilin 132012, China;2.Science College, Northeast Electric Power University, Jilin 132012, China; 3.College of Mechnical and Electrical Engineering, Qingdao Agricultural University, Qingdao 266109, China)

When it comes to the issue of quadrotor’s attitude system stabilization under large uncertain external disturbances, an adaptive backstepping sliding mode controller (ABSMC) on basis of immersion and invariance(I&I) principle is designed.Firstly, the dynamic model of quadrotor’s attitude system with unknown large disturbances is established.In sequence, the roll subsystem is designated to be set as an illustration, and the corresponding sliding mode control strategies related to the backstepping form & reaching law are designed and introduced accordingly.Specifically, the I&I principle is invoked in the design process for disturbance estimates error manifold, that is, choosing suitable adaptive rate helps to gain error manifold’s invariant and attractive properties, guaranteeing the estimates error mentioned above converges to zero as expected.Finally, the stabilization analysis and numerical simulation are carried out.The results illustrate that, under adverse operation circumstances, the summation of tracking error square within 10 s by I&I principle descend to 11.2%of that derived by typical ABSMC, and the control precision is tested to be drastically enhanced.

quadrotor; attitude system, immersion and invariance; backstepping method; sliding mode control

U666.1

A

1005-6734(2017)05-0695-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.05.024

2017-07-07；

2017-09-15

國家自然科學基金項目（61503073）；吉林省科技廳自然科學基金項目（20170101125JC）；吉林省教育廳科學技術研究項目（20171005）；吉林市科技局杰出青年項目（20166005）

夏琳琳（1980—），女，博士，教授，從事導航系統研究。E-mail: prettylin521@aliyun.com

聯 系 人：劉惠敏（1983—），女，博士生，講師。E-mail: lhmgct@126.com