滲透數學思想 培養中職生思維能力

黃玉蓮

【摘 要】本文選取數形結合、轉化思想、模型思想以及分類討論這四種經典數學思想，探討其對發展學生思維能力的作用。

【關鍵詞】數學思想 思維能力 中職數學

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）09B-0132-02

在中職教育中，數學是一個基礎性的課程，這門課也對學生的思維能力有著潛移默化的作用。在數學課堂上適當滲透數學思想，可以讓中職生在知識能力和探究能力兩個方面都更加完善。在中職的數學課堂上，學生面臨的不僅僅是一道道的數學題目和解答，更重要的內容是如何領會其中的數學思想。只有通過問題看本質，才能深化思想、提升能力。

一、數形結合，探討集合

數形結合思想是一種實用性非常強的數學思想，它不僅可以增強學生的實際分析問題的能力，而且可以更好地化解一些數學問題。“數”是指數字類的數學元素，而“形”則是具體的圖形。說到圖形，不僅是函數圖象或者是幾個圖形，一條線、一個數軸即可稱為一個圖形。

以基礎模塊下冊第一章《集合》為例。集合的概念對于學生來說是一個新的事物，將它放在第一章，說明了它是為了學生而打開新世界的大門。集合是一種簡單但是卻很重要的一個數學概念，在命題真假判斷、排列組合、函數值域等方面有著極其重要的應用。集合就是某一類數的組合體，屬于數字類的數學元素，在大多數情況下采用“數”邏輯來運算。集合通常用“{a1，a2，a3，…}”這樣的形式來表示，“數”的屬性很強。但是在解題過程中，數字給人的感覺是抽象的，需要動腦進行分析，而且耗費時間較多。換個角度思考，如果數字運算不簡便，那么我們可以由“數”延伸至“形”。形可以使數變得更加直觀，數也可以為形增添精確性。此時，數形結合是解題的關鍵。例如下面一道題目：

已知 ，，求 a∩b。

其實這是一道簡單的題目，但是如果運用數軸的方法可以讓這道題目更直觀。當參與交集的集合增多時，數形結合的數軸法就顯出了它的優勢。以這道題為例，如果將 a 和 b 兩個集合畫在數軸上時，如圖 1 所示，那么我們就可以輕易地觀察到，a 與 b 的交集，或者說 a 與 b 的公共部分，就是中間的那一塊區域，也就是 {x|0

集合在大多數情況下是數的集合，但是這并不意味著只能用“數”的思維去解決問題。在數字運算中引入“形”的方法，數形結合方能靈活解題。數形結合不只是一種解題策略，更是一種深入人心的數學思維方法。

二、多元轉化，變換方程

轉化思想也是一種經典的數學思想。學習數學的最終目的就是運用恰當的數學工具解決數學問題，因此不管采用哪種思路，只要能夠把問題解決，就是好思路。在解決問題中，采取間接的方式、采用轉化的思想，也不失為一種明智的策略。

數學是一門靈活的學科，一條路走到黑是行不通的。轉化思想就是一個很好的例子，這里采用第二章《不等式》的知識進行說明。舉一個實際的題目：

解不等式

學生看到分式，可能很多就要皺眉頭了，因為分式的通分比較麻煩。但是對于這道題目來說，學生看到分式就發愁還有點為時過早，因為不等式的右側是個“0”。因為 0 的存在，我們就可以將不等式進行轉化，比值大于 0 則說明分子、分母是同號的，也就是它們的乘積也大于 0。那么原式即可轉化為：，不等式一下子就簡單了很多。運用轉化思想最重要的原則就是等價關系，但是上述轉化是不等價的，還缺一個“x≠1”的條件。細心、靈活，是運用轉化思想的要領。

通過轉化不等式的案例，學生可以從中看到轉化思想的力量。轉化的意義在于簡化問題。但是世上沒有免費的午餐，簡化問題也有代價，那就是需要付出思考，并且承擔著轉化不等價的風險。

三、建立模型，引入函數

數學是自然規律的一種反映形式，本質上來說就是一種模型。建立數學模型是解決問題的首要一步。在解決一些實際化的問題時，首先需要建立一個數學模型，引入一些數學工具。建立模型的過程實質上是分析問題的過程，它對解決問題起到舉足輕重的作用。

以第四章《指數函數與對數函數》為例。指數函數是中職數學中新學的一種函數，在運算方面具有一定的難度。從實際生活上來講，很多生活中的問題與指數函數息息相關。理論知識與實際應用之間的轉化，這就是建立模型的過程。以一個具體的題目為例：

在一個施工工地上，有一臺挖掘機，價值 40 萬元。隨著時間的流逝，它的價值會降低，每一年比上一年的折舊率是 20%，問當它的價值折舊到 30 萬時所用的時間。

面對這道題目，我們要采用試驗的方法來建立模型。當使用 1 年時，設備價值為 40×（1-20%）萬元；當使用 2 年時，設備價值為 40×（1-20%）×（1-20%）=40×（1-20%）2 萬元。如此一來，那么這一數學模型即為對數函數，可以設 x 年后，這臺挖掘機價值為 30 萬元，列出方程式為 40×（1-20%）x=30，然后用計算器即可解出最終結果。數學模型有很多種形式，可以是函數也可以是圖形，但是不論什么形式都是為解決問題而生的。通過建立數學模型，簡便解題，是數學思想的彰顯。

四、分類討論，明確數列

數學的一種經典方法就是歸納，也就是將不同的問題用相同的規律進行表達，從而簡化解題過程。但是在某些情況下，歸納到一起并不容易，甚至不利于問題的解決，那么這時候就不能強行進行歸納，而是需要采用分類討論的思想，先分后合。

以第六章《數列》為例，數列的題目可謂是變化萬千，學生在解題時，可能會遇到各種各樣的分類情況。如何恰當地分類討論，并且能將不同的情況合理地歸納起來，可以說是數列題目中永遠的難題。引用一道比較經典的例題進行探究：

已知一個等比數列 {an} 的公比為 q，數列的前 n 項和 Sn>0（n=1，2，3，…，n），根據上述條件，求公比 q 的取值范圍。

這是一道非常經典的等比數列問題，規律也比較普遍。在本題中對 q 的取值范圍沒有任何說明，進行分類討論勢在必行。首先由前 n 項和 Sn>0，q≠0，可以推得 a1=S1>0。分類討論的原則是先討論簡單的、特殊的情況。從解題難度上講，先討論特殊情況，將問題的范圍縮小，然后再進一步進行推導；從考試得分上講，先寫出簡單部分有利于先行獲取應得的分數。在數列中，特殊情況就是公比或者公差特殊的情況。首先需要考慮 q=1 的情況，當 q=1 時，Sn=na1>0，顯然 q=1 的條件下，是符合題目要求的。在 q 不等于 1 的情況下，，化簡可得 ，（n=1，2，3，…），等價于 1-q<0，1-qn<0 或 1-q>0，1-qn>0。對上述式子進行求解，可以得出 q>1 或 q<1 且 q≠0。這只是一個簡單的例子，當學生面對數列問題時，一定要有這種分類討論的思想。

數列問題中的分類討論是一種典型的解題思路，當然在其他類型的題目中，分類討論也是一種重要的方法。任何的思想都沒有普適性，因此需要因題制宜，靈活運用。借分類討論思想，可以明確數列的性質特點，提升能力。

總而言之，數學思想滲透在數學問題中的方方面面，一個小的技巧、一個簡單的方法中都會彰顯著數學思想。數學思想是屬于一種深邃的、高階的數學能力，學生在培養數學思想的過程中，需要付出很多的努力，需要在實踐中不斷提升、不斷總結。

【參考文獻】

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