基于APOS理論下的數學概念教學策略探析

從建華

摘 要：概念教學是學習數學知識的第一步。就像認識一個人，首先得知道這個人的基本情況，例如他叫什么、從何而來等，這樣在日后的生活中，你才能作出關于此人的判斷。而對于數學知識的學習也一樣。因此，在數學教學中，數學概念的教學是最基本也是最重要的部分。只有真正掌握了相關概念，才能深入數學學習。本文基于APOS理論對中學數學概念教學作相關策略的分析與探討，發現通過APOS理論的活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、模型（Scheme）四個階段的運用，有效的提升了數學概念教學的效率。

關鍵詞：APOS理論；數學概念教學；教學策略

一、 前言

教師在教學過程中的主要職能是通過科學的教育方法引導教育學生積極學習。對數學教師來說，運用科學的教育方法引導學生對數學概念進行學習運用具有重要意義。數學概念是數學教學的基礎階段，是數學教學整個過程的基石。數學教學中，做好概念教學工作有助于學生對概念的理解，提高后續學習復雜化課程的效率。目前，教學過程中，往往對數學概念進行呆板的背誦記憶或對概念進行簡單的闡述，并不能使學生知其所以然，看似提高了課程進度，但實則為后續課程的學習造成不必要的麻煩。而APOS學習理論是針對數學學科教學提出的科學理論，由美國教育家杜賓斯在20世紀80年代提出。該理論的建構過程依次為四個階段：操作或活動階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）、模型階段（Scheme），APOS為四個階段的英文首字母?；顒与A段（Process），學生對數學概念具有初步的直觀印象，對概念的形成和背景有了初步的學習理解。過程階段（Process），是學生對活動階段的加深思考過程，這一階段的心理活動表現為反復思考和理解加深，是一個知識內化的過程。概念在學生的頭腦中經過二次描述，形成學生頭腦中的概念性質，形成學生頭腦中的反復刻畫對象，即到達心理活動的對象階段（Obiect）。隨著學習程度的加深，在學生頭腦中，經過對概念的反復思考，抽象出概念的心理模型圖像，即達到了第四個階段模型階段（Scheme）。本文以APOS四階段為線索，探討中學數學概念教學的可行性策略，以提高教師的教學效率。

二、 APOS理論分析

運用APOS理論進行中學數學概念教學，需要充分考慮到中學數學的教學實況，針對具體的教學情況作出科學的理論分析和運用。使理論與實際相結合，達到提高教學效率的目的。

1. APOS理論第一階段為活動A階段，此階段是學生概念學習的起點。

學生在這一階段對于概念的學習是廣義的初步的認識。學生在此過程中，運用自己的感官去觀察、聯想，概括出最初的感性素材，使過程P階段得到實現。

這里以二面角概念的學習為例，以現實中隨處可見的門為觀察對象，以門與墻的交界處為主軸，觀察門的移動與墻的位置變化活動。這一階段即為活動A階段，我們通過觀察門與墻之間的角度變化，得到感官性的頭腦印象。

2. 關鍵性階段“過程P”

在活動A階段，學生通過觀察獲得了感官性的印象，在后續的過程P階段，人的頭腦對所觀察到的印象進行分析和思考，提煉有效信息，形成概念學習的二次深刻印象。這一階段是概念學習的關鍵階段，從活動A到過程P階段，幾乎無法明確劃分，因為大腦神經中樞的活動速度之快，這兩個階段幾乎同時發生，雖然沒有明確的分界，但若缺失了過程P階段，將會嚴重影響概念學習的效果，即并沒有對感官現象有所構建，相當于徒勞。例如，在觀察門的開合現象時，若學生可以利用道具模擬二面角的幾何模型，感受模型變化的同時，找出如何刻畫三維空間的角度變化的方法。這就是過程P的意義。

3. 對象O是活動A、過程P的反復結果，同時也是模型S的起點。

在初步的學習過程中，學生了解掌握了最初的概念對象，但這并不是真正的對象O，真正的對象O是活動A和過程P在學生學習過程中，通過多次的重復前兩個過程作用的結果。這一階段的學習，可以運用多次練習的形式，來反復的進行操作A的訓練，以相似原理的不同對象為訓練內容，使概念的本質得到洞悉，使所運用的原理在學生的頭腦中得到抽象化后的結晶，從而達到最后一階段模型S階段。例如：在數列的學習中，最初對于數列的概念學習先經過活動A的反應，大腦對相關概念進行初步的理解，同時通過教師舉例教學，在過程P階段加深對數列的基本概念的理解和反復思考，最終達到模型S階段。大腦對數列的概念和類型有了具體的理解和分類。

4. 模型S階段是最初感官性現象在頭腦中由抽象到一般的綜合心理圖示階段。

單次的A-P-O-S是達不到形成模型S的目的。它是APOS階段反復作用的結果。例如關于函數的概念，它出現在初中到大學的學習階段中。學生需要反復長期的重復性學習。

綜合上述內容可以得出結論：通過活動A階段的觀察活動以及過程P階段對觀察對象的內容思考和內部消化吸收，到達對象O的階段，經過反復的觀察和思考，抽象出本質的特征，從而得到模型，這就是APOS的運作過程。APOS理論使學生的學習建構得到科學的理論依據，并且使建構層次的可行性得到實施。

三、 APOS理論對中學數學概念教學的借鑒意義

APOS理論反應出數學概念學習從具體活動到抽象的綜合心理圖形的過程。在中學數學概念的教學中，教師可根據APOS的層次性，進行引導教學。據此，我們提出幾點建議：

1. 在活動A階段，以感官性的觀察現象為起點，那么感性材料的選擇要注意選取適度、典型、有效的觀察對象。例如在二面角學習過程中，選取門與墻作為觀察對象，這樣的對象生活中隨處可見，易于接近，且對于二面角的形象具有典型的實物代表性。學生對于所選取對象的觀察和特征的提煉不會有太大難度，學生參與活動觀察的意愿也增強，不會給學生造成學習壓力。endprint

2. 過程P階段，連續設置問題引導思維深入

在活動A階段，感官現象只是學習的思維庫，是海量信息的汪洋，并沒有產生數學學習的思考。但在過程P階段，教師可以用具有啟發作用的問題，層層遞進的深入引導學生對于活動A的學習思考。例如：教師可以運用引導性的提問“你剛剛觀察到了什么現象？”“你覺得它們有哪些共同點？”“你可以歸納出什么？”“你是如何得到這些結論的？”。在集合的概念教學中，首先，以現實生活中的現象為例，將學生分成兩組。第一組與第二組學生不重疊，每一組的學生人數確定，每個人名字不同，隨意排列。這就是現實生活中的集合——兩組學生組成的集合。為什么呢？集合具有互異性、無序性、確定性的特點。每一組的學生是確定的，每個學生都不一樣，并且沒有具體的組合序列。這樣的互動教學，培養了學生在學習中的問題意識的同時，也活躍了課堂的學習氛圍，使教師有效掌控課堂的學習進程。學生在學習中的概括過程中，有時會遇到難題，此時需要教師針對問題做有效的指導，讓學生在層次遞進的引導中，打破自我學習瓶頸，切忌不結合實際的普遍性教導。

3. 模型S階段，豐富的活動內容，完善概念學習

對象O階段，學生對概念有了初步理解，但還不能概括出問題的實質，因此，這一階段就需要多次的不同程度的活動A和過程P的運用，使學生的認知從初步的對象O，進入歸納出實質心理圖形的模型S階段。

這一階段的教學，可以采用傳統的多題型訓練方式，運用從易到難的典型題型，訓練學生的思維成像，最終將概念學習得到層層深入，得到穩固、綜合的心理圖形，最終達到模型S階段，為下一階段的數學教學作準備。例如在集合的學習中，通過基本的集合相關的題目練習，再逐漸增加題型難度，層層遞進的加深集合的概念學習。

四、 總結

在中學數學概念教學過程中，以APOS理論為科學依據，按照其建構的四個心理活動層次。把活動階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Obiect）、模型階段（Scheme）這四個漸進的層次階段設置為概念教學的一個整體環節。以活動A為導入點，引導學生對感官現象作出過程思考，教師通過多次的引導教學，使學生經歷概念形成的各個階段，通過不同階段的思考，學生的理解面在不同層次中遞進、升華，最終到達模型S的階段，完成了數學概念的有效學習。在APOS理論的指導下，教師的教學成效也得到大幅提高。

參考文獻：

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