從計算肺循環的血流量聯想到定積分的思想

曹寒問

摘 要：在數學和物理中，經常會遇到計算平面曲線圍成的平面“曲邊梯形”面積、變速直線運動物理位移、變力做功的問題。如何解決這些問題呢？這就需要用到定積分的思想，即“分割-近似求和-取極限”。這種思想在其他知識領域和生產實踐活動中也具有普遍的意義，它為我們研究問題提供了一種思維模式。在計算肺循環的血流量過程中，同樣用到了定積分的思想。

關鍵詞：血流量 指示劑稀釋法 定積分

中圖分類號：O155 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2017）11-0-01

人體左心室或右心室每分鐘射入主動脈或肺動脈的血量稱為心輸出量，一個人休息時每分鐘心輸出量為5升或6升，在激烈運動的時候每分鐘可能高達30升，它也有可能由于疾病變化顯著。

迄今對人體心輸出量的測定尚無精確而簡便的理想方法。目前主要采用以下兩種方法：

一、費克氏法，即測定單位時間內經過肺循環的血流量

弗克氏法的原理是：當某種指示物在某一定部位（例如，肺部）進入血循環時，其進入速率等于該物質在進入兩側（例如，肺動脈和肺靜脈內） 的濃度差（C2S-C1S）乘以流量（F）。一定時間內的流量 （F）等于同時間內該物質的進入量除以進入點兩側該物質的濃度差。應用費克氏原理以測定心輸出量時，曾發現經過肺進入血循環的氧幾乎是理想的指示物質，因為肺部攝氧速率以及肺部兩側血氧濃度都容易測定。例如測得被試者每分鐘吸入氧量為250毫升，如果該時間內其每毫升動脈血含氧量為0.20毫升，每毫升靜脈血含氧量為0.15毫升，則每分鐘流過肺循環的血量即每分心輸出量為250/（0.2-0.15）=5000毫升。雖為心輸出量測定的標準方法，但采取混合靜脈血時需用心導管插入右心室或肺動脈，操作不便而且對于技術不熟練者帶有一定危險性，從而限制其廣泛采用。

二、指示劑稀釋法

此法系選用一定量（假定為m毫克）無害，不易透出毛細血管并易于定量的物質，例如，某些染料或放射性同位素等，將其迅速注入大動脈中，經不同時間后從外周動脈采取血液樣品，以測定該物質在動脈血中濃度的變化。當注入染料經一定時間后，動脈血內由于染料的再循環，動脈血內染料濃度回升，然后逐漸降下而達零點。可用曲線下降坡度外推法或用半對數坐標繪圖法而得到零點濃度的時間。

此法較易操作，無需插心導管，也無需測定氧耗量。故在人體上用指示劑稀釋法測定心輸出量，逐漸代替了費克氏法，特別對嬰兒、心臟病患者更為廣泛應用。將5.6毫克染料注入休息中病人心臟旁邊的靜脈，濃度數據如表1所示，求該病人的心輸出量？

根據表1中數據描出光滑曲線如圖1，時間由注入時刻t=0開始。染料濃度一開始是零，然后通過肺部以后逐漸增加，在t=9時達到最大值，接著逐漸減少，在t=31時減少為零。

已知染料是5.6克，接下來需要知道濃度曲線下面的面積。對于不規則區域的曲邊梯形面積，目前還不知道用什么公式去計算。假設用矩形區域做近似，如圖2，每一個矩形省略了一部分曲線下面的面積，但是又包含了一部分曲線上面的面積作為補償。

誤差大的原因主要是曲邊梯形的曲邊兩端點相隔比較遠，它所對應的函數值相差比較大。如果曲邊梯形比較窄，兩底離得比較近，函數變化不大，曲邊和直邊差不多，誤差就變小了。那如何把寬的曲邊梯形變窄呢？這就用到定積分概念里的分割步驟。

當我們把曲邊梯形分割成多個窄的曲邊梯形，然后用窄的矩形面積代替窄的曲邊梯形面積，用階梯型的矩形面積之和代替整個曲邊梯形面積，誤差就會比原來小。這就是定積分概念里近似求和的步驟。

進一步深入思考，分割的窄曲邊梯形越多，用階梯型矩形面積代替曲邊梯形面積的誤差就越小。如果無限分割，階梯型的矩形個數趨于無窮，階梯型的矩形形狀也就趨于曲邊梯形。即階梯型的矩形極限就成了曲邊梯形。這就是定積分概念里求極限的步驟。

高中課本里從曲邊梯形的面積，變力做功兩個實例中抽象出定積分的定義，處理的步驟都是“分割-近似求和-求極限”。原來生活中有很多類似的問題，可以用定積分的思想來解決。

參考文獻

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