“學習進階”理念下談均值不等式求最值

江蘇省宜興市丁蜀高級中學 趙雪梅 湯文兵

“學習進階”理念下談均值不等式求最值

江蘇省宜興市丁蜀高級中學 趙雪梅 湯文兵

“均值不等式求最值”一節的教學設計與實踐，探討基于學習進階理論建構循序漸進的序列解決問題的教法，增強學生思維能力的培養，提升科學素養。

學習進階；均值不等式；最值

目前，我國的基礎教育仍處于改革中，各種國內外先進的教學理念紛紛登臺亮相，“學習進階”也成為科學教育研究的新領域之一。學習進階是近十年來國際科學教育界的熱點研究領域，比較典型的界定是認為“對學生在一個時間跨度內學習和探究某一主題時，依次進階、逐級深化的思維方式的描述”。顯然，學習進階理論是對“應該為學生設定怎樣的學習路徑”這一問題的探索，是一種用來研究學生思維方式發展層次的理論。

學習進階的思想認為學習是一種不斷積累、發展的過程，學生對知識的理解與掌握不是一蹴而就的，其中必然要歷經多個不同層級的中間水平。學習進階的起點是指學生已有的經驗和知識，終點則多為社會對學生的期望，在兩個端點之間存在的多個中間水平則描述了學生對知識的理解是不斷發展的。本文對蘇教版高中數學必修5中“均值不等式求最值”一課進行相應的實踐研究，探討“學習進階”理論在高中數學課堂教學中的應用。

一、進階起點

進階起點1：學生在前面所學函數中求最值的方法，如二次函數法、判別式法、單調性法、數形結合法等。

進階起點2：學生在均值不等式的證明的有關問題中，已經解決了諸如等簡單類型的最值，具備了利用均值不等式求較復雜問題最值的能力。

二、進階終點

使學生能夠運用均值不等式定理來討論函數的最大值和最小值問題，讓學生對均值不等式有更深的體會，同時對定理中的限制條件也有更深的理解。

三、進階學習障礙分析

障礙2：均值不等式求最值需“和定”或“積定”，學生在初學均值不等式時，對“定值”的理解往往還局限于具體的數或字母，如x和的積為定值，x和的和為定值等他們也知道，但尚缺乏主動尋找、構造及運用的意識。

障礙3：均值不等式求最值的最后一個程序為需驗證兩個變量能否“相等”，這一步其實不難，但有些同學做了前兩步己覺大功告成，最后一步自動忽略，功虧一簣。

障礙4：學生缺乏應用“均值不等式求最值”的主動意識和變化能力，只會就題論題，難以通過變式、換元等方法將所解問題轉化為“基本不等式”題型求最值。

四、“均值不等式求最值”應用

層級一：就理論題，一以貫之

利用均值不等式求最值時，所用定理簡述為：“和定積最大”、“積定和最小”，這是均值不等式求最值的進階起點，運用這個定理求最值要遵循“一正、二定、三相等”的原則。欲使學生由起點水平進階為中間水平階段，完成一定量的基本練習必不可少，在講評和練習中熟悉常規題型的求解。不能期望一步到位，教師必須精心設計這個學習路徑。

水平1：嘗試基本不等式法、函數法，無果而終，約占50%以上。

求解此例的關鍵是條件中“1”的整體代換，可直接代換，再展開成均值不等式的形式，從而利用均值不等式求出函數的最小值。水平2的同學能想到連續兩次應用均值不等式，但忽視了相等條件不一這個事實。水平3當然是我們期望的解法，但對剛接觸基本不等式的學生來講難度很大。用均值不等式求最值是此階段的進階終點，適當的變式訓練，可以進一步了解這一內容上學生的進階維度。對上述例題可形成如下變式：

由上可知解題的第一層級就是“解”，就是想盡各種辦法用所學定理、性質解決當前的問題。這一層級的學習基本上是就理論題，方法較為單一，主要是是用模仿加勤奮推動學習進步，該層級學生往往只能處于中游水平，學習辛苦，但進步不大。

層級二：尋隱挖潛，化繁為簡

在用均值不等式求最值時，有些問題的定值條件往往被刻意隱藏，初看好像用不上均值不等式，有的則是隨著解題的展開出現在解題過程中。因此解題時應充分挖掘題設條件，并時時注意解題過程中是否冒出定值的苗頭，聯想均值不等式對應題型靈活求解。

層級三：回歸課本，觸類旁通

解題的第三層級是“歸”，這一層級的學生把學習當成一件有意義的事。看書時常想這些知識可應用于何處，做題時常思這些問題和書本的哪些基礎知識有聯系。他們在學習上有著上下求索的態勢，力爭“打通”書本知識和習題之間的關系。

這節關于“均值不等式求最值”的教學設計，基于進階分層理論設計了學生分層學習的路徑，按“直接應用、變化應用、發散應用”三個層級設置具體學習內容。對于所教主題的教學內容進行了認知心理分析，根據教學實際情況隨時了解學生對某個具體問題的認知水平，知道了什么？理解了什么？可以做到什么程度？從這些有用信息中即時評價、修訂目標，設計合適的教學路徑。讓學生由起點水平逐漸發展為具有良好科學素養的理解水平，進一步通過評測并結合預期表現，讓學生順次抵達學習進階中相互關聯的多個成就水平，爭取更多的學生進階終點水平。

[1]劉晟，劉恩山.學習進階：關注學生認知發展和生活經驗[J].教育學報，2012（2）.

[2]皇甫倩，常珊珊，王后雄.美國學習進階的研究進展及啟示[J].外國中小學教育，2015（8）.