《冪函數》問題教學法的實踐探討

江蘇省江陰市第二中學 蘇春蓉

《冪函數》問題教學法的實踐探討

江蘇省江陰市第二中學 蘇春蓉

思維的形成離不開問題。在《冪函數》的新課教學中，筆者采用問題教學法充分調動學生全方位地學習數學，使學生積極主動地參與到學習中，經過獨立的思考與分析，能更好地處理數學問題。

一、本堂課與問題教學法對接的理由

本堂課是《冪函數》的新授課，教學中有一個難點和重點就是要學生能結合幾個冪函數的圖象，了解冪函數圖象的變化情況和簡單性質。遵循“學生為主體，教師為主導”的教學準則，通過觀察函數解析式及函數圖象，借助多媒體全方位審視，由特殊到一般、由直觀到抽象，筆者在整個課程教學活動實施的過程中貫穿問題，輔助以啟發式、演示法教學，在學習的過程中不斷優化自主學習措施，有效地滲透數學思想方法，努力提高學生素質。

二、問題教學法在《冪函數》新課教學中的實踐

1.聯系實際，生成概念的問題教學

學生在學習系統的高中數學知識的時候，需要結合已有的數學思維或者已經具備的數學知識框架作為基礎。為了使學生能快速理解冪函數的概念，筆者舉了五個例子：請同學們閱讀以下材料并思考問題：

（1）如果小明購買了價格為1元的新米包裝盒x個，那么他支付的錢數y=____元。

（2）如果一塊正方形的稻田邊長為x m，那么稻田的面積y＝_______m2。

（3）如果正方體的新米包裝盒的棱長為x cm，那么包裝盒的體積y=________cm2。

（4）如果正方形稻田的面積為x m2，那么稻田的邊長y＝________m。

（5）如果小明去買新米，x秒內騎車行進1千米，那么他騎車的平均速度y=__千米/秒。

師：這五個問題用函數表示分別是什么？

生：y=x,y=x2,y=x3,y=，y=x-1。

師：這五個函數式的結構特點是什么？

師：表達式具有怎樣的結構特征？

（引導學生對于概念進行全面考量，并強化他們對于概念的理解）

生：底數是自變量x，指數a是常量。

師：是否還有其他特征？比如說表達式的系數特點？

生：系數是1。

師：有沒有常數項？

生：沒有。

由此，學生對冪函數的概念有了比較全面的認知，再從兩道題引導學生對于概念進行全面考量，并強化他們對于概念的理解：

（1）下列函數中是冪函數的有_________。

師：冪函數與指數函數的共同點和不同點是什么？

生：都是冪值，一個是底數為x，一個是指數為x。

在概念學習的過程中，學生根據自己對知識內容的理解，不斷將新的知識內容補充到知識框架中。在一系列的問題中，引導學生自己探究新知的發生并能用舊知解決。由于這些鋪墊，當設計問題研究冪函數的圖象和性質時，學生會更愿意參與進來，從而創新能力獲得極大的提高。在整個課堂教學活動實施的過程中，課堂氣氛一直保持互動活躍的狀態。

2.發生問題，探索圖象性質的問題教學

教師在轉入新課的問題教學前，學生結合自己的知識結構，面對教師的問題串，可以將自己的想法與不懂的地方向教師提出。

為了更高效地畫出圖象并研究冪函數的性質，不妨先解決如下例題：

例1 寫出下列函數的定義域，并指出它們的奇偶性：

對于判斷冪函數奇偶性的一般方法，讓學生通過自主探索、自主實踐方式來自己發現、自己解決，并以此題為載體，探究冪函數圖象的對稱性，提出問題：

師：用怎樣有效的方法判斷冪函數的奇偶性？函數奇偶性的研究要注意什么問題？

生：可通過化為根式來看冪函數的奇偶性，函數的奇偶性要注意定義域是否關于原點對稱。

師：研究函數奇偶性對于我們解決圖象有什么幫助？

生：奇函數圖象關于原點對稱，偶函數圖象關于y軸對稱，如果我們能畫出第一象限的圖象，就可以由對稱性畫出其他部分的圖象。

接下來，請學生通過找關鍵點畫出了常見的幾個冪函數的圖象，并總結其性質（包括定義域、值域、奇偶性、單調性、特殊點）：

學生活動結束后，通過實物投影展示學生的探索成果，并提問：

師：這幾個函數的圖象有什么共同特征？

筆者用電腦把這些圖象畫在同一個直角坐標系下進行觀察。借助信息技術對函數圖象作直觀演示下的問題教學法，使學生對老師設置的數學問題不再感覺陌生，對數學概念的理解也不再是空洞的想象，化抽象為直觀，從直觀到抽象的思維方法，也充分調動了學生學習數學的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。

師：圖象和性質與什么因素有關系？你發現了哪些規律？

生：與a有關。

學生有疑問：指數是怎樣影響圖象與性質的？冪函數是否具有一般的性質和結論？

師：這五個冪函數的圖象位置有何特點？奇偶性有何特點？這五個冪函數的單調性有何特點？哪個象限一定有冪函數的圖象？哪個象限一定沒有冪函數的圖象？哪個象限可能有冪函數的圖象？這時可以通過什么途徑來判斷？

教師指導學生按如下程序進行操作：（1）由學生組成活動小組；（2）每個小組進行一個問題探究；（3）分工活動獲取規律結論；（4）及時匯總規律結論；（5）師生合作總結歸納。

經過師生探討和總結，歸納出如下結論：（1）所有的冪函數在（0，+∞）上都有定義，并且圖象都通過點（1，1）;（2）當a＞0時，則圖象都過點（0，0）和（1，1），在第一象限內，函數在區間[0，+∞）上是增函數，0＜a＜1時，圖象上凸，慢增；a＞1時，圖象下凸，快增；（3）當a＜0時，則圖象都過點（1，1），在第一象限內，函數在（0，+∞）上是減函數，在第一象限內，圖象都向上無限接近y軸，向右無限接近x軸；（4）其他象限內的圖象可以通過函數的定義域和奇偶性得出。（5）圖象分布：第一象限都有圖象；第四象限都沒有圖象；第二、三象限可能有，也可能沒有圖象。

通過這樣循序漸進地設置問題的過程，不但讓學生從具體實例抽象出了數學概念，而且在運用中逐步理解了概念的本質；不但讓學生解開了心中的疑問，而且通過探索讓學生自己發現了一個數學規律；不但讓學生在探索中學到了知識，而且也發展了他們的數學思維能力，體會到了數學的美學價值。

3.應用新知，總結心得的問題教學

為了鞏固學生的認知，筆者再次回到剛才的例1，請學生利用冪函數的性質動手來畫出后面三張草圖。

師：怎樣快速畫出一個冪函數的草圖？

生：不妨先做出第一象限的圖象，再根據奇偶性明確其他象限的圖象。

師：第一象限又怎樣作出草圖？

生：關鍵對a的判定，明確范圍，確定圖形。

由于學會了快速畫圖以及對性質初步熟悉，研究下面的例題就比較容易上手了：

例2 比較下列各組數的大小：

師：怎樣快速比較大小？

生：通過確定是哪一類冪函數，關注冪函數的指數，根據函數的單調性進行判斷。

最后，請同學說說本節課都學到了什么知識和思想，然后師生共同總結得到共識：要想系統認識冪函數的性質，必須從它的圖象著手，重點抓住冪函數在第一象限內的圖象特征，然后根據奇偶性做出其他象限內的圖象，因而對函數的定義域和奇偶性的分析很重要。

總之，問題教學法是非常重視“過程”的教學方法，它展現了學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的整個探索過程。尤其在信息技術的輔助下，問題教學法更有利于培養學生學習的自主性、獨立性、獨特性以及克服困難的意志和決心等多項優良品質，讓學生從“我要學”出發，建立“我能學”的自信，給學生的學習賦予了新的生命價值。