拋物線內接三角形形狀探究

陳子琪

(北京理工大學附中 100081)

拋物線是一類特殊的曲線，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像都是拋物線．拋物線和三角形都是非常重要的幾何圖形，我們知道在拋物線上任取三個點都能構成三角形．那如何快速判斷三角形的形狀？本文根據(jù)上面的問題，對拋物線內接三角形進行探究．為了方便，本文只討論形如y=ax2+bx+c(a>0)的拋物線．

1 拋物線內接三角形的基本討論

下面，引入三角形角的形狀和邊長的關系判別式．

圖1

三角形ABC如圖1所示，三角形的頂點為A、B和C，三條邊分別為AB、AC和BC，記作△ABC．

在△ABC中，角A為銳角當且僅當|AB|2+|AC|2-|BC|2>0；A為直角當且僅當|AB|2+|AC|2-|BC|2=0；A為鈍角當且僅當|AB|2+|AC|2-|BC|2<0[1]．其中，|AB|、|AC|和|BC|分別表示邊AB、AC和BC的長度．

角B、C的判定方式和角A類似，根據(jù)角A、B、C的形狀就可以得到△ABC的形狀．

在拋物線y=ax2+bx+c中，最簡單的形式是y=ax2，因此首先討論拋物線y=ax2內接三角形的形狀．

2 y=ax2內接三角形形狀探究

圖2

由勾股定理得

利用上面的等式，求得

|AB|2+|AC|2-|BC|2

=2[1+a2(x1+x2)(x1+x3)](x1-x2)(x1-x3)，

類似地，可以求得

|AB|2+|BC|2-|AC|2

=2[1+a2(x2+x1)(x2+x3)](x2-x1)(x2-x3)，

|AC|2+|BC|2-|AB|2

=2[1+a2(x3+x1)(x3+x2)](x3-x1)(x3-x2)．

由于x1>x2>x3，因此

λA·(|AB|2+|AC|2-|BC|2)≥0，

λB·(|AB|2+|BC|2-|AC|2)≤0，

λC·(|AC|2+|BC|2-|AB|2)≥0．

因此，△ABC為銳角三角形當且僅當λA>0,λB<0且λC>0．

△ABC為直角三角形且A為直角時當且僅當λA=0,λB<0且λC>0．當B或C為直角時，可以得到相似的結論．

△ABC為鈍角三角形且A為鈍角當且僅當λA<0,λB<0且λC>0．當B或C為鈍角時，可以得到相似的結論．

為了敘述方便，當一個三角形是直角或鈍角三角形時，稱它的直角或鈍角為特殊角．我們引入下面的sgn函數(shù)：

由上面的討論和定義，可以得到下面三角形形狀判定的定理．

定理1記R=sgn(λA)sgn(λB)sgn(λC)，

則當R<0時，△ABC為銳角三角形；當R=0時，△ABC為直角三角形；當R>0時，△ABC為鈍角三角形．并且，若三角形為直角或者鈍角三角形時，若λA≤0，特殊角為A；若λB≥0，特殊角為B；若λC≤0，特殊角為C．

證明當R<0時，若λA<0，則λBλC>0，則角B或角C中有一個為鈍角，但角A也是鈍角，這在三角形中不可能成立，由命題1，拋物線上任意不同三點都構成三角形，故λA>0；若λB>0，則……