用方程解決銳角三角函數(shù)問題

劉 歡

用方程解決銳角三角函數(shù)問題

劉 歡

在解決銳角三角函數(shù)相關(guān)問題時，需要尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，通過設(shè)元，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，這種解決問題的思想稱為方程思想.方程思想在初中數(shù)學(xué)的多個知識點(diǎn)中均有體現(xiàn)，并且應(yīng)用其解題可以使問題由復(fù)雜變得簡單，易于求解.

一、理解定義，巧妙設(shè)元

【方法探究】此題考查了三角函數(shù)的定義.方法一通過設(shè)未知數(shù)表示出三角形的三邊，再根據(jù)定義求出.方法二利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系：sinA2+cosA2=1，求出sinA的值.

需要指出的是如果題目中的角是特殊角，用特殊值法較方便.

二、化斜為直，設(shè)一表多

例2 如圖1所示，飛機(jī)在一定高度上沿水平直線飛行，先在點(diǎn)A處測得正前方小島C的俯角為30°，面向小島方向繼續(xù)飛行10km到達(dá)B處，發(fā)現(xiàn)小島在其正后方，此時測得小島的俯角為45°，如果小島高度忽略不計，求飛機(jī)飛行的高度.（結(jié)果保留根號）

圖1

【方法探究】此題考查了俯角的定義、解直角三角形.在沒有直角三角形的條件下，要注意借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，

設(shè)CD=x，∵∠CBD=45°，∴BD=CD=x，

圖2

答：飛機(jī)飛行的高度為（53-5）km.

三、觸類旁通，舉一反三

例3 如圖3，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向勻速前進(jìn)，2秒后到達(dá)點(diǎn)D，此時他在某一燈光下的影子為DA，繼續(xù)按此速度行走2秒到達(dá)點(diǎn)F，此時他在同一燈光下的影子落在其身后的線段DF上，測得此時影長MF為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到達(dá)點(diǎn)H.他在同一燈光下的影子恰好是HB.圖中線段CD，EF，GH表示小明的身高.

（1）請?jiān)趫D中畫出小明的影子MF；

（2）若A、B兩地相距12米，則小明原來的速度為________.

圖3

【方法探究】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：如何從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形，然后利用相似比計算相應(yīng)線段的長.（1）利用中心投影的定義畫圖；（2）設(shè)小明原來的速度為xm/s，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，則，然后解方程解決.解：（1）如圖4，

圖4

（2）設(shè)小明原來的速度為xm/s，則CE=2x（m），AM=AF-MF=（4x-1.2）m，EG=2×1.5x=3x（m），BM=AB-AM=12-（4x-1.2）=（13.2-4x）m，

∵點(diǎn)C，E，G在一條直線上，CG∥AB，

∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，

解得x=1.5，

經(jīng)檢驗(yàn)x=1.5為方程的解，

∴小明原來的速度為1.5m/s.

例4 某班數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹正前方一樓亭前的臺階上A點(diǎn)處測得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點(diǎn)C處測得樹頂端D的仰角為60°.已知A點(diǎn)的高度AB為2米，臺階AC的坡度i=1∶2，且B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度.（測傾器的高度忽略不計，結(jié)果保留根號）

圖5

【方法探究】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，以及矩形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.首先表示出AF的長，進(jìn)而得出BC的長，再表示出，利用EB=BC+CE求出答案.

解：過點(diǎn)A作AF⊥DE，

銳角三角函數(shù)是幾何與代數(shù)的完美載體，是典型的數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容.而方程這個工具也同樣可以把代數(shù)與幾何這兩項(xiàng)完美地結(jié)合在一起，從而解決問題.在解決幾何問題時要善于挖掘隱含條件，通過構(gòu)造方程來解決問題.

江蘇省宿遷市鐘吾初級中學(xué)）