網格線中的三角函數問題

韓成云

網格線中的三角函數問題

韓成云

“數（代數）”與“形（幾何）”是中學數學的兩個主要研究對象，而這兩個方面是緊密聯系的.體現在數學解題中，包括“以數助形”和“以形助數”兩個方面.數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.數學中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合.如：銳角三角函數的定義是借助于直角三角形來定義的.下面我們就網格線中銳角三角函數的問題來體會這種數學思想方法.

一、運用定義，以形助數

一些問題中的代數式，如方程或不等式，若以圖形的形式直觀地給出，問題的結果便可一目了然.

圖1

圖2

【方法探究】根據正切函數的意義，不難構造出滿足條件的角α、β（如圖1），怎樣構造這兩個角的和是解決這個問題的關鍵.將圖1中下面的圖翻轉到上圖的下面，就形成了圖2的圖形，角α+β也就構成了.

【過程展示】如圖2，連接BC，易證：△ABD≌△CBE，從而△ABC是等腰直角三角形，于是：α+β=45°.

例2 如圖3，在邊長相同的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tan∠APD的值為（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.3

圖3

圖4

【方法探究1】如圖4，∠APD不在直角三角形中，無法根據對邊和鄰邊的比值來求它的正切值，借助網格線，連接BE，就可以構造直角三角形求解，由題意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的對應邊成比例，易得DP∶CP=1∶3，即可得PF∶CF=PF∶BF=1∶2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值.

【過程展示1】如圖4，連接BE，∵四邊形BCED是正方形，∴BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根據題意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP∶CP=BD∶AC=1∶3，∴DP∶DF=1∶2，∴DP=PF=在Rt△PBF中，tan，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2.

故選：B.

【方法探究2】P點不在網格線的格點上，無法發揮網格線的作用，可以將∠APD轉化為一個頂點在格點上的角，利用網格線構造平行，轉化得到相等的角.通過勾股定理數形結合進而求出線段的長.

圖5

【過程展示2】如圖5，連接BE，AE.

∵DE∥BC，DE=BC，

∴四邊形DEBC是平行四邊形，

∴DC∥BE，∴∠ABE=∠APD.

由勾股定理得BE=2，AE=22，AB=10，

∵AB2=BE2+AE2，∴∠AEB=90°，

二、運用方程，以數解形

幾何圖形中的問題轉化為用代數的知識求解，這就是數形結合思想中的“以數解形”，在幾何計算與證明中常常采用這種方法.

例3 如圖6，方格紙中有三個格點A、B、C，求sin∠ABC的值.

【方法探究1】∠ABC不在直角三角形中，通過連接AC又不能得到直角，只有過點A作垂直，利用等積法，通過面積途徑將幾何問題代數化，從而求出垂線段的長.

圖6

圖7

【過程展示1】如圖7，過點A作AD⊥BC于點D，連接AC，

【方法探究2】利用勾股定理構造方程進而求出線段的長度是比較常用的“以數解形”的手法.另外，熟練的代數運算在這道題中起到了比較重要的作用.代數運算能力是學好數學的一個基本功，

【過程展示2】如圖7，由勾股定理易得AB2=29，AC2=17，BC=25.

設BD為x，CD為25-x，由勾股定理得AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，

∴AB2-BD2=AC2-CD2，

【方法探究3】建立平面直角坐標系，利用坐標及相關公式處理一些幾何問題，有時可以避免添加輔助線（這是平面幾何的一大難點）.在高中“解析幾何”里，我們將專門學習利用坐標將幾何問題代數化.

【過程展示3】在原網格線基礎上，再向右補一列，如圖8，以O為坐標原點，OC所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，連接CD，并延長CD交BA的延長線于點E.

圖8

借助網格線，易證△BOC≌△CFD，

∴∠BCO=∠CDF.

∵∠DCF+∠CDF=90°，

∴∠DCF+∠BCO=90°，∴∠BCD=90°.

由圖可知B（0，2），A（5，4），C（4，0），D（6，4），可以求出直線AB的函數關系式為：y=x+

2，直線CD函數關系式為：y=2x-8，將兩個函數關系式聯立成一個二元一次方程組，可求E點坐標為，利用點C、B、E的坐標，由勾股定理可求得

三、綜合問題，數形互助

【方法探究】如圖9，借助網格構造∠CAD=β，∠BAD=α，則∠CAB=β-α，通過等面積法、勾股定理或者建立平面直角坐標系，從而把代數問題幾何化，求出∠CAB的正弦值.本題中數與形得到了完美的統一.

圖9

圖10

【過程展示】圖10中∠CAD=β，∠BAD=α，則∠CAB=β-α，過點B作BE⊥AC于點E，

恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學.”數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起.充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.

小試牛刀

1.△ABC在網格中的位置如右圖所示（每個小正方形邊長為1），AD⊥BC于D，下列選項中，錯誤的是（ ）.

A.sinα=cosα B.tanC=2 C.sinβ=cosβ D.tanα=1

2.如下圖，在2×2正方形網格中，以格點為頂點的△ABC的面積等于則sin∠CAB=_______.

（關注公眾號，回復“2017年12月數學”查答案）

江蘇省宿遷市鐘吾初級中學）