基于Mathematica的《數理方程》可視化教學改革探索

許韜+郭啟龍+戴芊慧+孟得新

摘要：《數理方程》素來具有知識點綜合性強、數學推導復雜煩瑣、學生普遍缺少學習興趣和耐心等特點。以Mathematica符號計算平臺為基礎，我們針對弦的振動過程、桿的熱量傳導、溫度（電勢）的穩恒分布、行波的傳播以及特殊函數的性質等教學環節設計了一定的圖形和動畫，將難以描繪的物理現象和抽象的特殊函數向學生進行可視化演示，從而在一定程度上激發了學生的學習興趣，提高了課堂教學效果。

關鍵詞：數理方程；可視化教學；Mathematica軟件

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）52-0144-03

一、數理方程的課程特點及教學中存在的問題

數理方程是指在物理學、力學、工程和技術等領域提出的經過一定簡化后能夠反映客觀世界物理量之間關系的微分方程。它是一門數學、物理知識高度綜合的課程，需要《高等數學》、《線性代數》、《常微分方程》、《復變函數與積分變換》和《大學物理》等課程的諸多知識點作為基礎。首先，數理方程所涉及三類模型的建立都是以物理學中的基本原理或實驗定律為基礎的。其中，部分原理和定律是學生在中學或大學物理中學習過的，而另一部分則是學生完全沒有接觸過的，如熱傳導方程的建立需要利用傅里葉實驗定律。其次，求解數理方程定解問題的各種解析方法是本課程講授的主要內容，這些求解方法都需要完成大量微分和積分運算，其顯著特點為計算和推導煩瑣、過程和步驟冗長、數學知識點多且綜合程度高。以齊次方程在齊次邊界下的分離變量法為例，其求解過程涉及變量分離、常微分方程本征值問題求解、線性疊加原理以及傅里葉級數展開四個主要知識點。最后，數理方程具有十分深刻而廣泛的物理背景，其解可以準確地描述一些實際物理過程或現象。例如：利用分離變量法求解所得本征值和本征函數可分別表示駐波的頻率和波形。

《數理方程》不僅能夠很好地鍛煉學生綜合應用數學物理知識的能力，而且在一定程度上還可以提高他們的理論分析、模型建立和解析計算能力。然而，在實際教學中該課程卻被公認為“學生難學、老師難教、考試難過”[1]。從學生角度講，數理方程涉及數學知識點眾多、理論分析復雜、計算量大、過程冗長而煩瑣，這使得不少學生認為該課程沉悶乏味，很快便失去了繼續學習下去的興趣和耐心。不僅如此，大量的數學推導和計算也讓學生無暇顧及數理方程的物理背景和實際應用，從而難以將數學計算結果與實際物理過程和現象進行聯系。從教師角度講，受課程知識體系結構和傳統教學理念的束縛，老師們習慣將該課程當作一門數學基礎課進行講授，一味強調理論的完整性、步驟的連貫性，滿堂課充斥著理論分析和數學計算，極大地降低了課堂的趣味性和生動性。因此，如何激發學生對數理方程的學習興趣和提高該課程的教學效果一直是教師們關心的一個問題。近年來，已發表的相關教學改革研究包括：利用Matlab進行數值仿真的可視化教學改革[2，3]、體現專業需求和特色的教學改革[4，5]以及實驗教學和數值仿真相結合的教學改革[6]等等。

二、Mathematica軟件及可視化教學改革探索

隨著數學和計算機科學的發展，符號計算（亦稱“計算機代數”）作為一門新興的交叉學科逐漸形成并迅速發展[7]。由美國物理學家Stephen Wolfram發明的Mathematica是一款以符號計算功能見長的數學軟件，能夠完成矩陣和張量的計算、初等函數的化簡、定（不定）積分的計算、函數的冪級數展開、代數方程和微分方程組求解等復雜的符號運算，并且具有強大的二維和三維繪圖功能。Mathematica用戶界面友好，操作簡單、易學、易用，這是因為它具有像計算器一樣簡單的交互式操作方式，計算是在用戶和軟件相互交換和傳遞信息數據過程中完成的。經歷近三十年的發展，Mathematica在數學、物理、工程技術和計算機方面的專家學者中得到了廣泛應用，成為理論研究的重要實驗工具。不僅如此，她還被用于計算機輔助教學，目前已成為國內很多高校數學類課程有力的輔助工具。教師可通過該軟件直觀形象地向學生解釋抽象的數學概念和幾何含義，而學生則可利用Mathematica“輕松做數學題”，從而提高學生運用數學軟件解決問題的能力。

數理方程求解涉及多元函數微積分、常微分方程求解以及傅里葉級數展開等復雜的計算，這些運算大部分都能夠在符號計算系統上得以完成；另外，Mathematica強大的繪圖功能使得對數理方程的精確解析解進行可視化演示成為可能。因此，將Mathematica融入《數理方程》的可視化教學是可行且十分有必要的。為了改變傳統的滿堂公式推導和求解計算的教學方式，我們制作出一套含有豐富圖形和動畫的電子課件，尤其是將一些難以描繪的物理現象和抽象的特殊函數進行可視化演示，具體的改革內容如下：

1.利用分離變量法求解數理方程在不同初邊值條件下的定解問題是一個極其重要的教學內容，但是如何將分離變量解與實際物理過程和現象相聯系是教學中容易被忽略的環節。我們通過二維（三維）圖形和動畫演示，讓學生清楚地看到在固定端、自由端和彈性支撐端三種情況下的弦振動過程，在恒溫端、絕熱端和熱交換端三種情況下一維有界桿的熱量傳導過程，以及在圓盤、圓環或扇形區域溫度（電勢）的穩恒分布。

2.行波法是求解雙曲型方程的常見方法，但是如何理解行波解的物理意義卻讓學生倍感頭疼。為此，我們利用二維動畫讓學生觀察到行波的傳播過程，同時通過初值條件的改變向學生演示初始擾動對于行波傳播的影響。另外，我們還將理論分析和圖形演示相結合，形象地解釋如何根據達朗貝爾公式理解依賴區間、決定區域和影響區域等概念。

3.在利用分離變量法求解球（柱）坐標系下三類數理方程時還會涉及貝塞爾函數和勒讓德函數。不同于常見的初等函數，這兩類函數是用級數形式表示的特殊函數。利用Mathematica的函數繪圖功能，我們可清楚地向學生展示這兩類函數的零點、周期性和極值分布等特征，從而使學生建立對這兩類特殊函數直觀形象的認識。

三、基于Mathematica的數理方程可視化教學案例

1.一端固定一端自由的弦振動過程演示。

對于如下波動方程定解問題：

該段代碼的最后一行可輸出弦自由振動的動態演示圖，截取部分時刻的靜態圖形如下：

通過圖1的演示，學生能夠清晰地觀察到在一端固定而另一端自由情況下弦的自由振動過程。進一步，我們可以分別作出U[1]，U[2]，U[3]…的動態演示圖，使學生理解為什么分離變量解是由一系列駐波疊加而成。此外，我們還能選取不同的a值作出弦振動的動態演示圖，從而讓學生感受參數a與波傳播的速度有關。

2.兩端固定的弦受迫振動過程演示。

對于如下非齊次波動方程定解問題：

四、結束語

我們利用Mathematica強大的符號計算和繪圖功能，將難以描繪的物理現象和抽象的特殊函數以圖形或動畫形式演示，使得學生能夠直觀形象地理解數學表達式，并且與具體物理現象和過程建立聯系。這既鍛煉了學生的物理思維，又激發了他們的學習興趣。然而，僅僅在電子課件中增設可視化教學環節對于顯著改善《數理方程》的教學效果還是不夠的。我們下一步的教學改革思路有如下兩方面：（1）增加Mathematica的上機教學環節，向學生講授符號計算和圖形繪制的常用指令，讓數學軟件成為學生學習《數理方程》的“演草紙”；（2）增加課程大作業環節，設計難度適當的綜合性題目，要求學生利用本門課程所學知識并借助Mathematica完成數學計算和圖形分析，以提高綜合運用數學、物理和計算機知識解決問題的能力。

參考文獻：

[1]王正斌，毛巍威，楊志紅.“數理方程”課程教學改革探索[J].宜春學院學報：自然科學，2006，28（6）：51-52.

[2]彭芳麟.數學物理方程的MATLAB解法與可視化[M].北京：清華大學出版社，2004.

[3]郭云均.基于Matlab的數學物理方法可視化教學舉例[J].江蘇教育學院學報：自然科學，2012，28（6）：47-49.

[4]趙忠奎.《數學物理方法》課程教學改革的研究與探索[J].教育教學論壇，2012，（32）：57-58.

[5]趙新宏.光信息類專業數學物理方法教學改革探索[J].教育教學論壇，2014，（52）：111-112.

[6]王正斌，李章榮，礬龍延.數理方程實驗教學改革的實踐[J].教育教學論壇，2013，（48）：35-37.

[7]張韻華.符號計算系統Mathematica教程[M].北京：科學出版社，2001.