一道習題的演變

鄭宗浩

摘要：美國心理學家布魯納認為：“探索是數學的生命線。”初中數學總復習不是平時教學的機械重復，也不是用題海戰術來加重學生的負擔，它應是平時教學的總結和升華。筆者認為，上復習課時應注重立足課本，把已學過的知識進行梳理，把已做過的習題歸類，歸納為幾個主要題型。對于有代表性、典型性的例題、習題要引而不發，舊題新作，結合考試大綱和學生實際情況，有目的地將它們進行演變引申，再生為各種新的題型，培養學生在新問題面前能獨立解決問題的探索能力和應變能力，開拓學生視野，發展學生多向思維，充分發揮學生的潛能。

關鍵詞：中學數學；解題；思維轉換

有這樣一道習題：如圖1，正方形ABCD中，作AM交BC于M，DN⊥AM交AB于N，求證：AM=DN。

這道題里涉及正方形的性質及全等三角形的知識，如果學生只停留在就題論題上，這道題就失去了真正的內涵，所以老師就要啟發學生，將此題變形，拓寬學生思維，形成對知識的深入理解。

利用上述例題，筆者構思了一堂習題課，將以例題變化而來的一系列開放性問題作為線索，一方面培養學生發現知識的興趣和探索問題的能力，使學生在探究的過程中發現變化的事物中存在的規律，另一方面使學生獲得學習自由以及快樂的感悟和體驗，對自我價值的認識和承認，并學會與他人合作。首先可進行以下幾種簡單變題：

將DN平移即有：變題1：如圖2，正方形ABCD中，點E、F、M分別在AB、CD、BC上，且EF⊥AM，通過觀察、測量，猜想AM與EF之間有怎樣的數量關系？并證明你的結論。

再將AM作類似平移，即有：變題2：如圖3，正方形 ABCD 中，點E、F、G、H分別在AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，通過觀察、測量，猜想GH與EF之間有怎樣的數量關系？并證明你的結論。鼓勵學生大膽猜測，激發學生的求知欲。

這兩道變題只需利用平行的有關知識，作出各自圖中所示的輔助線，即可仿原題給出證明。當然還可以給出以下變式：“正方形ABCD中，點G、H分別在AD、BC上，現將正方形折疊，使G、H兩點恰好重合，若折痕長為5cm，試求GH的長度，并說明理由。”這樣不斷變化問題，引發學生多方位思考，能使學生觸類旁通，增長知識，培養發散性思維能力。

接著可運用類比的思想進行以下變題：

變題3：如圖4，在正五邊形ABCDE中，點M、N分別在CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，求證：BM=CN。

變題4：如圖5，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，點M、N分別在CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，問：當∠BON等于多少度時，結論BM=CN成立？

變題3類比前面的證法，只要證△BCM和△CDN全等就可以了，關鍵也是去說明對應角相等；變題4當∠BON=360°n時，結論BM=CN仍然成立，證法同變題3。

當然還可以進行提升拓展，鼓勵探究：

變題5：如圖6，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E、F、G、H分別在AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，問：EF、GH滿足怎樣的等量關系？

此題與變題2相比，只是已知條件中矩形與正方形之別，其他的條件都相同，如果我們用同樣的方法將矩形的邊AB、BC平行移動，如圖62所構成的兩個三角形EFN和GHM雖不全等，但可以證明△EFN和△GHM相似，從而求得GH∶EF=a∶b。引導學生發現變化的事物當中存在的不變的規律，激發學生更大的學習熱情。

變題6：如圖7，平行四邊形ABCD中，AB=a，BC=b，點M、N分別在BC、AB上，AM與DN交于點O。試探究：當∠B與∠MON滿足什么關系時，使得AM∶DN=a∶b成立？并證明你的結論。

當∠B+∠MON=180°時，AM∶DN=a∶b成立，證△AOD∽△NAD，得出AO∶NA=AD∶ND，證△AON∽△ABM，得出AO∶AN=AB∶AM，即可得出答案。

教學要能引導學生對數學問題多角度、多方位、多層次地討論和思考，使學生更深刻地理解數學知識，引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，最終提高學生的思維能力和創新能力。

以上只是結合教學實例簡單地介紹了“變式訓練”的應用，其實在我們教學中處處存在變式，希望老師們多總結、多研究，整理成題，利用“變式訓練”提升教學實效性。