與軸對(duì)稱相關(guān)的線段之和最短問題

李志若

摘 要：本文通過實(shí)例說明利用對(duì)稱性實(shí)現(xiàn)“化折為直”“化斜為垂”，從而解決線段之和最短問題的方法。

關(guān)鍵詞：線段和最小值；軸對(duì)稱

在學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形之后，學(xué)生在解答求線段和最小值問題時(shí)，常常思維受阻，無從入手。解此類題的總體思路是利用對(duì)稱性實(shí)現(xiàn)“化折為直”“化斜為垂”，現(xiàn)選取幾例進(jìn)行分析。

一、 此類題的數(shù)學(xué)模型一是歸于“兩點(diǎn)之間線段最短”；二是歸于“垂線段最短”

（一） “兩點(diǎn)之間線段最短型”

1. 如圖1，直線l和l的異側(cè)兩點(diǎn)A，B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小。

2. 如圖2，直線l和l的同側(cè)兩點(diǎn)A，B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小。

3. 如圖3，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B，使△PAB的周長最小。

4. 如圖4，點(diǎn)P，Q為∠MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B，使四邊形PAQB的周長最小。

（二） “垂線段最短型”

5. 如圖5，點(diǎn)A是∠MON外的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小。

6. 如圖6，點(diǎn)A是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小。

二、 “一線上一動(dòng)點(diǎn)”兩線段和最小值求解

【例1】 如圖7，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？

解析：作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交CD于點(diǎn)M，則AM+BM=AM+B′M=AB′，水廠建在M點(diǎn)時(shí)，費(fèi)用最小，如圖，在直角△AB′E中，AE=AC+CE=10+30=40，EB′=30所以：AB′=50總費(fèi)用為：50×3=150萬。

三、 “兩線上兩動(dòng)點(diǎn)”三線段和最小值求解

【例2】 如圖8，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長的最小值。

解析：本題在最短矩離這一問題中，是典型的兩動(dòng)點(diǎn)問題。如圖9利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，P到OB上任意一點(diǎn)R的距離，等于它的對(duì)稱點(diǎn)P1到OB上對(duì)應(yīng)點(diǎn)R的距離，同樣P到OA上任意一點(diǎn)Q的距離，等于它的對(duì)稱點(diǎn)P2到OA上對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的距離，問題就轉(zhuǎn)化為找P1到R到Q再到P2的線段和問題，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，連接P1P2交OB與R，交OA與Q，以達(dá)到 “化折為直”，找出三條線段和的最短線段，在根據(jù)軸對(duì)稱性易知：OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=90°，因而P1P2=102，故△PQR周長的最小值為102。

四、 “兩線上兩動(dòng)點(diǎn)”兩線段和最小值求解

【例3】 如圖10，在直角△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=3，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，求CP+PM的最小值。

解析：要使CP+PM的值最小就要設(shè)法把CP、PM轉(zhuǎn)化到同一條直線上，利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，C到AB上任意一點(diǎn)P的距離等于它的對(duì)稱點(diǎn)C1到AB上對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的距離，問題就轉(zhuǎn)化為找C1到直線AB上的P點(diǎn)，再到直線BC上的M點(diǎn)線段和問題，利用“垂線段最短”，如圖11，作C1M垂直BC于M，交AB于P，則（CP+PM）最小=C1M，以達(dá)到“化折為直”“化斜為垂”即可解決。由30°角的直角△ABC的AC邊長為3，可求得AB=6，BC=33，CD=323，那么C1C=2CD=33，再由30°角的直角△C1MC的C1C邊長為33，求得（CP+PM）最小=C1M=92。

五、 “三線上三動(dòng)點(diǎn)”兩線段和最小值求解

【例4】 菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，求PK+QK的最小值。

解析：要使PK+QK的值最小，就要設(shè)法把PK、QK轉(zhuǎn)化到同一條直線上，利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，BC上的點(diǎn)P到BD上任意一點(diǎn)K的距離等于它的對(duì)稱點(diǎn)P1到BD上點(diǎn)K的距離，問題就轉(zhuǎn)化為找從線段BC關(guān)于BD對(duì)稱線段AB上的一點(diǎn)P1到直線BD上的K點(diǎn)再到直線CD上的Q點(diǎn)線段和問題，利用“轉(zhuǎn)折為直、化直為垂”，即“垂線段最短”得PK+QK的值最小為AD與BC兩平行線的距離，即（PK+QK）最小=AE=3。

上述幾種線段和最小值的疑難突破策略，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)稱軸，利用對(duì)稱變換將點(diǎn)的位置進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到“化折為直”“化斜為垂”的目的，使問題得以解決。