例析數列求和的方法與技巧

楊耀昇

摘要：數列在整個高中數學中處于知識和方法的匯合點，又是學習高等數學的基礎。在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位。數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧，當然數列求和一直是一個老話題，似乎不必重提，但總覺得還是有重新研究的必要，下面僅從幾個案例來談談數列求和的基本方法和技巧。

關鍵詞：數列；求和；技巧

一、 幾種常見數列的和

1+2+3……+n=n（n+1）2

1+3+5+……+（2n-1）=n2

12+22+32+……+n2=n（n+1）（2n+1）6

13+23+33+……+n3=n（n+1）22

二、 數列求和的基本方法

1. 錯位相減求和法

這種求和法則適合于由一個等差數列和一個等比數列相乘而形成的新數列。

例1已知數列{n2n}（n∈N，且n≥1）試求該數列的前n項的和。

分析：設an=n2n=n·12n其中{n}為等差數列，12n為等比數列，公比為12，利用錯位相減法求和。

解析：Sn=1×12+2×122+3×123+……+n×12n

兩端同乘12，得12Sn=1·122+2·123+3·124+4·125+…+n·12n+1

兩式相減得12Sn=12+122+123+124+……12n-n2n+1

于是Sn=2-12n-1-n2n。

說明：一般地，如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，一般采用錯位相減法。

2. 裂項相消求和法

這種求和方法適合于通項可化為兩項（或數項）差的形式，然互錯位相消。

例2求數列1n+1+n的前n項和。

解：∵1n+1+n=n+1-n（分母有理化，n+1-n=1）

∴12+1+13+2+…+1n+1+n

=（2-1）+（3-2）+…+（n+1-n）

=n+1-1

說明：如果數列的通項公式可轉化為f（n+1）-f（n）的形式，常采用裂項求和的方法。

常出現的數列形式如：1n（n+k）=1k（1n-1n+k），1n+k+n=1k（n+k-n）等。

3. 分組轉化求和法

這種求和法則是把一個數列可分解為幾個特殊數列的和（或差）的形式，然后分別求解。

例3已知集合A={a|a=2n+9n-4，n∈N+且a<2000}，求A中元素的個數，以及這些元素的和。

解：由210=1024，211=2048

知210+9×10-4<2000

211+9×10-4>2000

∴A中有10個元素，記這些元素的和為S10，其中{2n}為以首項為2，公比為2的等比數列，{9n-4}為以5為首項，公差為9的等差數列（或者說{9n}9為首項，公差為9的等差數列）。

S10=2+22+23+…+210+9+18+…+90-4×10

=2（210-1）+99×5-40=2501

說明：本題中A是一個集合，集合中的元素是不可重復的，也是沒有順序，但在求和時與10個元素的順序無關，所以可借用數列的方法對不同特點的數列歸類求和。

4. 倒序相加求和法

這種數列的求和特點，在于數列中與首末兩項等距的兩項之和均等于首末兩項之和或者倒序后錯位相加滿足上述要求。

例4求和Sn=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn

解：根據組合數性質Cmn=Cn-mn，將Sn倒序寫為Sn=nCnn+（n-1）Cn-1n+…+C1n

已知Sn=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn

以上兩式相加得：

2Sn=n（C0n+C1n+C2n+…+Cn-1n+Cnn）=n·2n

∴Sn=n·2n-1

說明：如果一個數列{an}，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。

5. 拆項轉化求和法

這種求和法則適合于數列的通項可拆成兩個或幾個特殊數列的通項式，然后分別解之。

例5求數列112，314，518，…，（2n-1+12n）的前n項和。

解：Sn=112+314+518+…+（2n-1+12n）

=（1+3+5+…+2n-1）+（12+14+18+…12n）

=（1+2n-1）n2+121-（12）n1-12=n2+1-12n

說明：此數列可以看作由一個等差數列和一個等比數列對應項相加得到的一個新數列。因此，可將此數列的求和轉化為一個等差數列和一個等比數列的求和問題。

6. 分解重組求和法

這種求和法則適合于拆項后，得到的兩個數列不一定是常見的等差或等比數列還需要進行分類討論。

例6求和：（x+1y）+（x2+1y2）+…+（xn+1yn）（x≠1，y≠1）。

解：（x+1y）+（x2+1y2）+…+（xn+1yn）

=（x+x2+…+xn）+（1y+1y2+…+1yn）

=x（1-xn）1-x+1y（1-1yn）1-1y（∵x≠1，y≠1）

=x（1-xn）1-x+yn-1yn+1-yn

說明：嚴格地說，數列x，x2，…，xn不一定為等比數列，如x=0。只不過x+x2+…+xn=x（1-xn）1-x，當x=0時也成立而已。特別地當題目本身沒有事先交代x，y的取值范圍時，對x，y是否取1要做討論。