多項式理論在高中數學中的應用

丁嘉程

摘要： 本文以具體的實例為載體，討論了利用高等代數中的多項式理論求解高中數學難題的方法。如利用多項式恒等定理與因式定理，求解次數較高并且系數未知的多項式問題，通過定理尋找整系數多項式的全部有理根，避免嘗試法的不確定性，借此指出從高處著手解決這類問題的便利性及優勢。

關鍵詞： 多項式恒等定理；整系數多項式的有理根；因式定理

在中學數學里，常有形如f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a0， n∈N的函數。當n≥3時， 涉及這類函數的求根問題就會較為困難。但若是接觸高等代數中的一些多項式理論， 題目就會較為容易了。本文主要通過具體的例子來闡述如何運用這些理論來解決高中數學中的多項式問題。

例1存在實系數多項式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a0。若f（x）可被x2+px+q整除，p，q∈R，如何求f（a），a∈R。

解：設f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a0=（x2+px+q）（bn-2xn-2+bn-3xn-3+…+b0），則anxn+an-1xn-1+…+a0=bn-2xn+（bn-3+pbn-2）xn-1+（bn-4+pbn-3+qbn-2）xn-2+…+（b0+pb1+qb2）x2+（pb0+qb1）x+qb0。

由多項式恒等定理，可得a0， a1， …， an， b0， b1， …， bn-2， p， q的關系如下：

an=bn-2an-1=bn-3+pbn-2an-2=bn-4+pbn-3+qbn-2……a0=qb0

在具體題目中， a一般與f（x）的系數存在聯系， 并可通過上述式子得出。由這些聯系， 又易得f（a）的值。具體情況見例2。

例2f（x）=x5+a3x3+a2x2+12a4x+32a5-a3a2+a2a3能被x2+x+1整除， 求f（-a）。

解：設f（x）=（x2+x+1）（x3+b2x2+b1x+b0）， 化簡， 得

f（x）=x5+（b2+1）x4+（b1+b2+1）x3+（b0+b1+b2）x2+（b0+b1）x+b0。

則有0=b2+1，a3=b1+b2+1，a2=b0+b1+b2，1.5a5-a3a2+a2a3=b0，0.5a4=b0+b1，∴a3=a2

∴f（-a）=（-a）5+a3（-a）3+a2a2+12a4（-a）+32a5-a3a2+a2a3=0。

例3f（x）=x5-3ax4+bx3+cx2-3a2x+a3能被x2-1整除，求f（a）。

解：由題易得（x-1）|f（x），（x+1）|f（x），由因式定理可知f（1）=0，f（-1）=0。

則1-3a+b+c-3a2+a3=0，-1-3a-b+c+3a2+a3=0，∴b=3a2-1，c=3a-a3，

代入原式，有f（a）=a5-3a5+（3a2-1）a3+（3a-a3）a2-3a3+a3=0。

例4已知函數f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a， b， c， Bd∈Q。求其過點P（m，n）的切線，其中m， n∈Q。

解：設點（x0，f（x0））是f（x）上的點。則由題有f′（x）=3ax2+2bx+c， f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程為f′（x0）（x-x0）=y-f（x0）。∵切線過點P，∴f′（x）（m-x0）=n-f（x0）， 化簡得2ax03+（b-3am）x20-2bmx0+n-d-cm=0。又a， b， c， d，m，n∈Q， 所以存在k∈N， 使該式可以化作a′x3+b′x2+c′x+d′=0，其中a′=2ak， b′=（b-3am）k， c′=-2bmk， d′=（n-d-cm）k。根據整系數多項式有理根的尋找方法可知， 若該等式存在有理根rs， 其中r， s互素， 那么必有s|a′， r|d′。此時若存在有理根， 易得要求的切線方程， 實例見例5。

例5已知函數f（x）=16x3+2，求其過點P136，114的切線。

解：由題有f′（x）=12x2，則f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程為12x20（x-x0）=y-16x03+2。∵切線過點P，∴12x20136-x0=114-16x30+2，化簡得4x30-13x20+9=0。根據整系數多項式有理根的尋找方法，易知該等式存在有理根x0′=1，x0″=3，x0=-34，易得切線方程12（x-1）=y-136，932x+34=y-247128和92（x-3）=y-132。

參考文獻：

[1] 北京大學數學系前代數小組.高等代數第四版[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2] 中國數學會普及工作委員會，各省市數學會.2016高中數學聯賽備考手冊（預賽試題集錦）[M].上海：華東師范大學出版社，2016.endprint