基于數(shù)學(xué)名題的思維課堂實(shí)踐研究

“知識是手段，不是目的。思維才是最有效的。”但思維的隱形性增加了思維培養(yǎng)的難度。數(shù)學(xué)課堂上很多學(xué)生學(xué)習(xí) “抄近路”，回答問題只說答案。教師追問思考過程，學(xué)生表述不清，缺乏表達(dá)思考過程的能力。正因?yàn)槌橄蟮乃季S隱形于學(xué)生的學(xué)習(xí)活動中，教師不能準(zhǔn)確地把握學(xué)生的思維動態(tài)。更何況學(xué)生思維品質(zhì)的提升，不是一朝一夕的事，是一個(gè)長期積累的過程。一節(jié)課的效果不能立竿見影，所以思維品質(zhì)的培養(yǎng)容易被教師們忽視。如何建構(gòu)思維課堂，提升學(xué)生思維品質(zhì)呢？

一、為學(xué)生提供有思考價(jià)值的素材

數(shù)學(xué)名題是數(shù)學(xué)發(fā)展史中有一定的歷史故事與情節(jié)，有數(shù)學(xué)著作記載或民間流傳的有代表性的數(shù)學(xué)問題。如雞兔同籠、李白喝酒、以碗知僧、百錢白雞、韓信點(diǎn)兵……數(shù)學(xué)題之所以能成為名題 ，大多數(shù)是因富含哲理且寓于生活之中 ，讀之妙趣橫生而又回味無窮 ，因此很多名題都是大家所喜聞樂見的。教師要以數(shù)學(xué)名題為載體，適當(dāng)介紹有關(guān)的背景知識，幫助學(xué)生感悟深厚的數(shù)學(xué)文化，體會數(shù)學(xué)在人類發(fā)展史中的作用。思維課堂要實(shí)現(xiàn)的條件是教師要掌握核心技術(shù)：教師自身提問的技術(shù)和激發(fā)學(xué)生提問的技術(shù)。一名優(yōu)秀的教師，應(yīng)該是學(xué)生思維的激發(fā)者，要讓學(xué)生有適當(dāng)?shù)臅r(shí)間和空間自主發(fā)問“為什么”。這樣才能引出學(xué)生更多的想法。如果教師的提問馬上能讓全體學(xué)生舉手回答，那不是好問題。主題式的數(shù)學(xué)名題往往是個(gè)大問題，能讓學(xué)生進(jìn)入探究之中。

二、促使學(xué)生從低階思維邁向高階思維

“小先生學(xué)習(xí)模式”是最高品質(zhì)的學(xué)習(xí)。基于“數(shù)學(xué)名題”經(jīng)典的學(xué)習(xí)載體，通過學(xué)生“獨(dú)立自主研讀——小組交流合作探究——小先生匯報(bào)解說——同伴認(rèn)真傾聽質(zhì)問——全班師生多維互動研討”，不斷刺激學(xué)生的大腦，改變學(xué)生的線性思維，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)狀聯(lián)結(jié)，形成高階思維。思維層次有高低之分，而思維方法沒有好壞之分，運(yùn)用哪種思維方法解決什么問題卻有決策優(yōu)劣之別。羅列出可解決問題的種種方法，選用最合理的思維方法解決問題，這是思維動態(tài)的決策能力。久而久之，這種思維能力漸漸成為不容易改變的一種慣性，即思維品質(zhì)。思維的獨(dú)創(chuàng)性、靈活性、敏捷性、深刻性、批判性……影響學(xué)生一生的學(xué)習(xí)、工作與生活。這就是我們所要追求的學(xué)生的核心素養(yǎng)。 不唯書，不唯師，不唯上的批判性思維的培養(yǎng)，能讓學(xué)生張開創(chuàng)造、想象的思維翅膀。

三、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會表示思考過程的方法

根據(jù)以上要素的理論分析與課堂實(shí)踐，筆者經(jīng)過幾年來的總結(jié)，提煉形成了“基于數(shù)學(xué)名題的思維課堂”模式。

（一）讀有價(jià)值的數(shù)學(xué)名題

“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中，如今被編入到北師大版、蘇教版、人教版、北京版等不同版本不同年級的教材中。如何充分利用數(shù)學(xué)名題“雞兔同籠”在不同年級進(jìn)行不同思維方法的有效引導(dǎo)呢？要遵循兒童的認(rèn)知規(guī)律，科學(xué)合理地品讀數(shù)學(xué)名題。我們安排了三、四、五、六年級學(xué)生讓四位教師同課異構(gòu)，根據(jù)各個(gè)層次的年齡特征定位不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)。三年級目標(biāo)為畫圖策略；四年級的目標(biāo)為從逐一列表假設(shè)拓展到跳躍列表假設(shè)；五年級的目標(biāo)定位為靈活運(yùn)用逐一、折中和跳躍假設(shè)法，并學(xué)會用兩步假設(shè)來推理出正確答案，過渡到算術(shù)假設(shè)法；六年級的目標(biāo)則定位為方法上的求聯(lián)，通過比較畫圖、列表、算術(shù)推理、方程假設(shè)等各種方法，把所有的方法上升為一種假設(shè)的上位思想。學(xué)生思維發(fā)展由具體到抽象的過程顯露無疑，充分體現(xiàn)了雞兔同籠的思維價(jià)值。由此可見，不同年級確定不同目標(biāo)，采用不同方法品讀數(shù)學(xué)名題，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，也能真正讀懂?dāng)?shù)學(xué)名題。

（二）想已知與未知數(shù)量之間的關(guān)系

引導(dǎo)學(xué)生合理選用分析法、綜合法、假設(shè)法等數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系。《雞兔同籠》這一數(shù)學(xué)名題的關(guān)鍵是讓學(xué)生“自主探究、小組合作、小先生展示、質(zhì)疑辨析”，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用假設(shè)法的同時(shí)，要化無形的思維為有形思維，理清已知與未知之間的數(shù)量關(guān)系。思維本身就是無形的，如果教師能在實(shí)施過程中化無形為有形，勢必會讓學(xué)生的思維增量。如三年級的課中采用畫圖的策略來解決問題，針對畫圖一次不能到位而需要調(diào)整時(shí)，教師可用不同顏色的粉筆標(biāo)出腳太多時(shí)把兔調(diào)整為雞，或者可以用圈的方法在旁邊標(biāo)注調(diào)整的過程，這樣學(xué)生的思維過程就表達(dá)出來了。四年級的課中，學(xué)生出現(xiàn)圖1情況，教師應(yīng)該適時(shí)地讓孩子回到雞兔畫圖的過程，來理解“腳少了怎么辦？加兔減雞。”

如圖2，學(xué)生的回答是通過2次折中假設(shè)得出正確答案，此時(shí)，教師可順勢質(zhì)疑，為什么雞的只數(shù)再次取半，而不往上推理呢？因?yàn)槟_數(shù)太少，要增加兔的數(shù)量，從而發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。

五年級的課堂如圖3：通過教師的表格數(shù)據(jù)比對，調(diào)整過程用箭頭顯現(xiàn)，學(xué)生調(diào)整的過程一目了然，理解起來顯得輕松。兩步列表法發(fā)展到算術(shù)法只差臨門一腳，因此，通過兩步列表法理解過程，算術(shù)法來總結(jié)，思維過程就水到渠成了。

從課初的隨意猜想到表格中的有序猜想，從一般驗(yàn)證到表格中數(shù)據(jù)變化規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，從列表法自然聯(lián)想到假設(shè)法，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從無序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創(chuàng)新、從膚淺到深刻的巨大變化，學(xué)生的思維能力也隨之得到了極大的提升。

（三）能觸類旁通和拓展延伸

三、四、五年級的課堂中呈現(xiàn)了大量的素材，教師需要幫助學(xué)生舉一反三建立雞兔同籠的模型，如：日本的龜鶴算、三輪車和自行車同輪分配、人民幣混裝問題都屬于雞兔同籠模型下的思維拓展。面對這些問題，引導(dǎo)學(xué)生給“雞兔同籠”重新取名。不經(jīng)意的點(diǎn)撥，適時(shí)的追問，讓學(xué)生一次次跳出那只有形的“籠子”，超越具體的解題方法，上升為一種更具有普適性的思想方法與策略——假設(shè)，從而建構(gòu)起解決這類問題的更具有一般性的“數(shù)學(xué)模型”，通過方法遷移，會一題，通一類。

（作者單位：浙江省義烏復(fù)旦實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）