高職學生數學能力的測評因子分析及針對性的教學方法探索

祝青芳++華劍

摘 要：該研究以四川省成都市周邊多所高職院校新生為研究采樣對象，借助問卷調查的方法測量了反映數學能力的9個題項，并對其進行了因子分析，得到四個因子：數據處理能力、計算能力、數學建模、逆向思維能力。分析表明各因子得分均不高，說明高職學生整體數學素養偏低，針對這一情況，筆者對高職學生數學教學改革提出了一些建議。

關鍵詞：高職高專；數學能力；因子分析

引言

目前高職高專學生生源素質呈逐年下降的趨勢，而教學內容的改革卻無法緊跟這種變化，尤其是基礎課的教學形式和內容，這就造成了不能因材施教的現象，教學效果很不理想，老師在教學過程中很被動，無法很好地施展教學能力。為了改變這一現狀，作為一名數學老師，筆者認為對每一年入校新生做一個數學能力的測評是很有必要的，這樣可以很好地了解學生情況，及時調整教學內容和形式，最大可能地做到因材施教。本次研究的主要目的就是為學生的測評提供一種方法供大家借鑒，主要手段是通過問卷調查的方法獲得關于學生數學能力的基礎資料，并利用因子分析的手段對這些基礎資料進行歸納整理，獲得描述學生數學能力的若干指標，并利用因子得分對學生的數學能力進行評價。

一、 因子分析

因子分析是一種多變量降緯技術，通過分解原變量為若干因素的現行組合，找出幾個主要的因素，從中歸納出潛在類別（潛變量），再借助這些潛變量反映眾多原變量的信息，幫助我們對學生數學能力進行深入分析，合理解釋和正確評價。

（一）因子模型

設原始量表有n 個題項（原變量）x1，x2，…，xn，標準化變形得

xi=xi-xisi，i=1，2，…n

設F1，F2，…，Fm為m 個潛變量或稱之為共性因子，因子分析的主要目的是要把原變量表示為潛變量的線性組合，即得到如下表達式：

xi=Li1F1+Li2F2+…+LimFm+ei，i=1，2，…，n

ei表示變量xi的個體特征，成為個性因子，Lij稱為xi在因子Fj上的載荷。為了確保共性因子唯一，這里要求共性因子均值為0，方差為1。獲得共性因子的方法有很多，下面采用主成份分析法來求共性因子。

對原變量做主成份分析，得

c1=a11x1+a12x2+…+a1nxnc2=a21x1+a22x2+…+a2nxn

cn=an1x1+an2x2+…+annxn（1）

因方程組（1）系數矩陣A為正交陣，所以ATC=ATAX=X，得到原變量表達式

X=ATC

將上述方程中主成份Ci標準化并記作Fi，Fi=Civar（ci），帶入方程組（1）得

x1=L11F1+L12F2+…+L1nFnx2=L21F1+L22F2+…+L2nFn

xn=Ln1F1+Ln2F2+…+LnnFn

以上方程就是因子分析的雛形，系數矩陣L稱為因子載荷矩陣，該矩陣的第j列平方和反映了第j個因子對所有原變量的方差貢獻程度，數值上等于樣本協方差矩陣的第j大特征根。此時的因子太多，實際操作中一般我們選擇特征根大于1的因子作為主因子，其它的因子合并作為個性因子，假設有m個因子對應的特征根大于1，合并其后的因子，得

x1=L11F1+L12F2+…+L1mFm+e1x2=L21F1+L22F2+…+L2mFm+e2xn=Ln1F1+Ln2F2+…+LnmFm+en

（二） 因子旋轉

通過以上分析，已經基本獲得了共性因子，但此時的因子含義比較模糊，為了更好地解釋因子的意義，需對共性因子進行旋轉，使得每一個變量在某一個因子上的載荷盡量大而在其他因子上的載荷盡量小。常用的方法是Varimax旋轉，具體的做法是用一個正交矩陣右乘載荷矩陣，得到最終的載荷矩陣。

（三） 因子得分

將共性因子表示為原變量的線性組合

上式稱為因子得分函數，由該函數對每個記錄的因子進行估值（本文采用回歸估計法），得到對應與該記錄的因子得分，進而對樣品做深入的分析和評價。

二、 實驗結果與分析

本次研究以四川省成都市周邊多所高職院校新生為研究采樣對象，對197位新入學的學生借助問卷調查的方法測量了反映數學能力的9個題項，借助spss軟件對測量所獲數據進行了分析，結果如下：

旋轉法 ：具有 Kaiser 標準化的正交旋轉法。

a.旋轉在 5 次迭代后收斂。

表3為旋轉后的載荷矩陣，可以較明確地反映各主因子的含義，可以看出，每個因子只有少數幾個變量的載荷較大，因此可以根據上表進行分類。將題目分為4類，第1、3、8題歸為一類，第4、7題歸為一類，第2、5題歸為一類，第6題歸為一類。根據題目主要考查的內容對各因素進行命名，因素1可命名為數據處理能力，因素2可命名為逆向思維能力，因素3可命名為數學建模能力，因素4可命名為計算能力。第9題與因素3負相關，從第9題考查內容看，主要側重與考察受測人的語言理解能力，這說明被測人群數學建模能力與語言理解能力有一定背離，從得分的整體情況看，第9題的得分高而第6題得分較低，說明受測人普遍數學建模能力較差。再看因子得分的情況，從整體看，因子得分都不高，平均接近0分，相對看，按能力由高到低排列依次為數據處理能力、數學計算能力、數學建模能力、逆向思維能力。

從分析結果可以看出，高職高專學生整體數學能力偏低，可見在中學階段缺乏數學能力的培訓，要想在專科階段把缺口補齊難度很大，只能在一些必要的方面做一點改善，比如強化一下數據處理和數學計算能力，多注重基本技能的培養，少一些擴展與深化。具體到課程設計上，《高等數學》可以只安排一元微積分的基本內容，類似隱函數、中值定理、廣義積分這些內容可以刪減；《線性代數》可以只安排行列式與線性方程的矩陣解，類似特征方程、線性空間這些內容可以刪減，刪減的內容以及其他數學課程可以安排興趣班或選修課，給學有余力的同學選擇。也可以考慮利用因子得分情況分班教學，不過這樣做會增加學校教學組織上的工作量，可以根據學校教學管理情況做出選擇。

參考文獻：

[1] 姚慕生.高等代數學[M].上海：復旦大學出版社，1999，5.

[2] 黃志宏，方積乾.數理統計方法[M].北京：人民衛生出版社，1987，10.endprint