一道經久流傳的錯題

在我上小學的時候，數學老師給我們講了一個很有趣的數學故事。傳說古代印度有一位老農，在臨死前把他的三個兒子都叫到跟前，對他們說：“孩子們，我一生清貧，現在要離開你們了，這19頭牛是我留給你們的惟一財產。

“老大分得總數的 ，老二分得總數的 ，老三分得總數的 ，但一頭牛也不許宰殺。”說完，老人就去世了。

老農死后，三個兒子根據遺囑，算了一下：老大可分得：19× =9 （頭），老二可分得：19× =4 （頭），老三可分得：19× =3 （頭）。

可是老人臨終前留下的遺囑中交代，一頭牛也不許宰殺的呀！按照上面的分法，要殺掉三頭牛，況且還沒有把牛分完。牛殺了既沒有使用的價值，三兄弟也不愿意。為此，三兄弟絞盡了腦汁，還是無計可施；最后決定訴諸官府，官府對此也是一籌莫展，便以“清官難斷家務事”為由，一推了之。

這時，鄰居的一位老人牽著頭牛經過，看到三兄弟愁眉不展，旁邊還圈著一群牛，便上前詢問是怎么回事，三兄弟便把父親立的遺囑如實地告訴他。

這位老人沉思片刻，說：“這么辦吧，我先借一頭牛給你們，你們就好分了。”

于是：老大分得：（19+1）× =10（頭）；老二分得：（19+1）× =5（頭）；老三分得：（19+1）× =4（頭）。

老人笑著說：“剩下的這頭牛應該還是我的。”老人牽著自己的那頭牛走了。這真是妙極了，一是分完了牛，二是沒有宰殺一頭牛，三是鄰居的一頭牛也還了。人們在佩服鄰居的高明之余，也有些懷疑：老大應得9.5頭牛，最后他怎么竟得了10頭呢？同時，這件事也引起了一些數學愛好者的關注，他們決定將此事弄個水落石出。他們進行了下面的研究：

19頭牛按老大 、老二 、老三 的份額去分，各人分別得9 頭、4 頭、3 頭。這樣顯然分不完，還剩下（19-9 -4 -3 ）= （頭）。剩下的 頭又要分第二次；于是各人又分得 × = （頭）， × = （頭）， × = （頭）。計算一下，還沒有分完，剩下 頭；于是，又進行第三次，如此下去，這個過程可以一直延續到無窮，只是每次所剩越來越少了。累計上述過程：老大分得：9 + × + × +……= =10（頭），老二分得：4 + × + × +……= =5（頭），老三分得：3 + × + × +……= = 4（頭）。

這種用無限遞縮等比數列求和的方法好像是無可辯駁的。可以說這些數學愛好者們用了比較審慎的態度對待這件分牛風波，支持了鄰居的分法是正確的，該近尾聲了。

沒過多久，此事又起了變化。有人甚至懷疑鄰居的“動機”不純，認為鄰居的做法是“瞎貓碰上死老鼠”。并舉例說，假如老農留下的牛是15頭，而不是19頭，遺囑規定老大分得 ，老二分得 ，老三分得 ，那么結果又將如何呢？按鄰居的分法，鄰居牽來一頭牛，共計16頭牛。按遺囑，老大分得16× =8（頭），老二分得16× =4（頭），老三分得16× =2（頭）；三人共分去8+4+2=14（頭），那么，剩下的2頭牛鄰居是否都牽回去？誰又敢證明鄰居沒有“漁利”之機呢？

抑或老農留下的牛是47頭，而不是19頭，遺囑規定老大分得13，老二分得 ，老三分得15，那么是不是老農要牽來13頭牛呢？

經過幾番爭論，人們終于明白，鄰居的辦法確實有某種偶然性。經過分析認為問題的關鍵不在于鄰居是否牽牛來或牽牛走，而在于按遺囑三兄弟所獲牛數之比只要是個簡單的整數比就能夠將19頭牛整分，那么也不必牽一頭牛來，就能解決“分牛問題”，即用“按比例分配”的方法就能順利解決。 ∶ ∶ =10∶5∶4，老大分得：19× =10（頭）；老二分得：19× =5（頭）；老三分得：19× =4（頭）。萬萬沒想到：鄰居的分法，求級限的分法，按比例分配的分法，結果都是一樣的。到此，“分牛問題”似乎得到了滿意的結果。

但是，一些數學愛好者們還有不滿意的地方。因為數學這門學科很講究嚴謹性，一點不能含糊，不能模棱兩可，必須講究邏輯性，精確性。以上三種分法，雖然解決了三兄弟的困惑，但嚴格說來他們的方法雖然有趣，但不科學；“分牛問題”中的19頭牛變成了20頭牛，它們三兄弟所得牛的 、 、 ，不再是19頭牛的 、 、 ，而是20頭牛的 、 、 ；很明顯這道題的條件就變了，這是說不過去的。如果把“分牛問題”看作一道應用題，則如果按照它的條件根本就不能得到這樣的結果，因為 + + = 1920<1。

原來這道經久流傳的趣題，卻是一道典型的錯題！少年朋友們，你們讀了上面的問題一定會有很多感想。看來，不迷信，敢質疑，對于問題的研究是多么的重要啊！