從《有理數》一章中領悟數學思想

數學思想是溝通數學問題與數學基礎知識和數學基本方法之間聯系而產生的解題思路的想法。學習數學最終應落在對數學思想的領悟和掌握上，做到舉一反三，觸類旁通。在學習《有理數》一章時，我們應掌握以下四種數學思想。

一、分類思想

根據問題的特點和要求，按照一定的標準，把所要研究和解決的問題分為幾種情況，然后再逐一研究和解決的數學思想叫分類思想。在《有理數》一章中，有理數的加法法則和乘法法則中就含有分類思想，分為兩數同號，兩數異號。

【例1】比較大小（1）2 與3 ；（2）│ │+│ │與│ + │。

解：①當 >0時，2 <3 ；當 =0時，2 =3 ；當 <0時，2 >3 ；②當 、 同號時，│ │+│ │=│ + │；當 、 異號時，│ │+│ │>│ + │用分類思想，就是化整為零，化大為小，使每個問題變得容易理解。

二、化歸思想

將所要研究和解決的問題轉化為已經學過的老問題來處理的一種數學思想叫化歸思想。它是研究和解決數學問題的一種重要思想。通過化歸，陌生的問題可以轉化為熟悉的問題；通過化歸，抽象的問題可轉化為具體的問題；通過化歸，復雜的問題可轉化成簡單的問題。

在《有理數》一章中，處處體現著這種思想，如在有理數加法的基礎上，利用相反數的概念化歸出減法法則，減去這個數等于加上這個數的相反數，從而使加、減法統一成加法，又如利用絕對值的性質，將有理數的運算轉化成算術運算等。

【例2】計算①（1.125）+（- ）+（- ）+（-0.6）；②2+│-3│-4

解：①原式=（ ）+（- ）+（- ）+（- ）= - - - =1-4=-3；②原式=2+3-4=1

三、數形結合的思想

借助于數與形的互相轉化來研究和解決數學問題的思想叫數形結合的思想。“數”準確地反映“形”的大小性質；“形”能直觀地啟迪“數”有關計算方法，數形結合不僅可以使枯燥無味的數學問題變得生動形象有趣，而且解決起來簡便、快捷。

《有理數》一章中數軸的引入使得數與形（數軸上的點）聯系起來，這是數與形的初步結合，例如，利用數軸來說明相反數就是表示到原點距離相等的點，這樣的點往往有兩個，它們的區別僅僅是符號不同。這樣就對相反數的意義有了深刻的、本質的認識。再如利用數軸來進行有理數的大小比較，就是借助“形”來研究“數”的。

【例3】設 、 均為有理數，且 >0， <0， + >0，試用“<”連接- 、 、- 、

解：由 >0， <0， + >0，得│ │>│ │故- 、 、- 、 在數軸上的位置可表示為（如圖1）：

故- < <- <

【例4】有理數 在數軸上的位置如圖2所示，化簡│ - │+│ + │

解：由圖可知： <0， >0故 - <0， + <0，│ - │+│ + │= -（ - ）-（ + ）= - + - - =-2

四、逆向思維的思想

采取與傳統和習慣相反的方法來思考問題，從而發明和找到解題方法和途徑的數學思想叫做逆向思維的思想。學習數學就要善于逆向思維，這樣可以沖破習慣勢力的束縛，消除思維定勢的影響，跳出常規方法的圈子，從而合理巧妙地解題。

【例5】計算① ；②

解：①原式= = ；

②原式= = =1994-1993=1

本題中第（1）小題是逆用了乘法分配律，第（2）小題是把19941994拆成19940000與1994的和，19931993拆成19930000與1993的和，再逆用分配律，約去公因式（104+1）很快地得出結果。

成功的教學不僅教會學生知識，而且要教會學生學習，即，不僅要學生“學會”，而且要學生會學，要學生會獨立、主動地去獲取已有知識，會創造性地探索新的知識。要學生“會學”數學，就必須讓學生掌握基本數學思想和方法，會提出問題、思考問題。