淺談求數列通項公式的幾種方法

數列在理論上和實踐中均有較高的價值，是培養學生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力的絕好載體，高考對數列知識的考察從未間斷過，而且在前幾年，很多省市的高考數學卷都把數列題作為壓軸題。數列的通項公式是數列的核心內容之一，它如同函數中的解析式一樣，有了解析式便可研究性質等；而有了數列的通項公式便可求出數列中的任一項及前 項和等。因此，求數列的通項公式往往是解題的突破口、關鍵點。本文即通過幾個高考實例總結了在高中階段，求數列的通項公式的常用方法和策略。

、觀察法

即歸納推理，就是觀察數列特征，找出各項共同的構成規律，橫向看各項之間的關系結構，縱向看各項與項數n的內在聯系，從而歸納出數列的通向公式，然后利用數學歸納法加以證明即可。

例1.（2014年重慶理科）設 ， .

（1）若 ，求 及數列 的通項公式.解：由題意可知： ， ， .因此猜想 .下面用數學歸納法證明上式.①當n=1時，結論顯然成立.②假設當n=k時結論成立，即 ，則 ，即當n=k+1時結論也成立.由（1）、（2）可知，對于一切正整數 ，都有 .點評：采用數學歸納法證明是理科教學內容，較為容易，好掌握。

（2）定義法。直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應于已知數列類型的題目。

例2.（2015年北京文科）已知等差數列 滿足 ， .①求 的通項公式；②設等比數列 滿足 ， ，問： 與數列 的第幾項相等？解：①設等差數列 的公差為 . 因為 ，所以 .又因為 ，所以 ，故 . 所以 . ②設等比數列 的公比為，因為 ， ， 所以 .所以 由 ，得 . 所以 與數列 的第63項相等.點評：當已知數列為等差或等比數列時，可直接利用等差或等比數列的定義求出數列的首項與公差或公比，再寫出通項公式。

（3）公式法。若已知數列的前n項和 與 的關系，求數列 的通項 可用公式 求解。

例3.（2015年山東理科）設數列 的前 項和為 ，已知

①求數列 的通項公式。解：（Ⅰ）由 可得：當 時， ，

當 時， ，而 ，所以 點評：利用公式 求解時，要注意對 分類討論，但若能合寫時一定要合并。

（4）累加法。當遞推公式為 時，其中 的和比較易求 ，通常解法是把原遞推公式轉化為 ，利用累加法（逐差相加法）求解。例4.（2015年江蘇）數列 滿足 ，且 （ ），則數列 的前10項和為 .

解：由題意得： 所以 所以

（5）累乘法。當遞推公式為 時，其中 的積比較易求 ，通常解法是把原遞推公式轉化為 ，利用累乘法（逐商相乘法）求解。

例5.已知數列 滿足 ，求 的通項公式。

解：由條件知 ，在上式中分別令 ，得 個等式累乘之，即 ，即 又 ，

總之，求數列通項公式的方法并不滿足以上所述，對于同一問題的求解也不僅只有一種方法，只有在平時學習與探究過程中不斷地體會與總結，將知識與方法學活，才可以做到游刃有余。