初中數學中的分類討論及其應用

摘要：分類討論是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。分類討論思想就是根據所研究對象的性質差異，分各種不同的情況予以分析解決.本文介紹了分類討論常見的四種誘因，以及在四大類型方面的應用。

關鍵詞：分類討論 數學思維 數學思想 數學方法

推行素質教育，培養面向新世紀的合格人才，使學生具有創新意識，在創造中學會學習，教育應更多的關注學生的學習方法和策略。數學家喬治波利亞說：“完善的思維方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路”。

一、分類討論的引入

思維是一種復雜的心理活動過程。錢學森說：“思維科學以及心理學和教育學才是智力開發的基礎。”當面臨的數學問題不能以統一的形式解決時，可把已知條件涉及的范圍分解為若干個子集，在各個子集中分別研究問題局部的解，然后通過組合各局部的解而得到原問題的解，這種思想就是分解組合思想，其方法稱為分類討論法。分類討論思想的實質是根據要求，確定分類的標準，進行分類，然后對劃分的每一類分別進行求解。進行分類討論時，應該注意的是：第一應該明確分類的對象，但由于數學問題的千差萬別、形態各異，對具體問題中誰是分類的對象，有些很明顯，有些則比較隱蔽，需要認真分析。對同一問題，不同的出發點和不同的思維方式所選擇的劃分對象也不盡相同，劃分對象選擇得好，解法就簡單，否則就復雜，甚至會誤入歧途。特別要注意分類對象的統一，不能一會兒以這個對象為標準，一會兒以另一個對象為標準。第二是選擇分類的標準，劃分的對象確定后，緊接就是分類的標準，而標準的確定，要根據題目要求及已有的知識，具體情況具體分析，雖沒有統一模式，但必須遵循既不重復，又不遺漏，且每次分類都必須按同一標準進行的原則，并力求最簡。

二、分類討論的應用

進行分類討論的關鍵是明確分類討論的原則，認識為什么要分類討論，以什么標準分類，只有明確討論的原因，才能恰當的進行分類討論，這類題目可分為以下幾種類型。

（1）對含有參數的題目，要對參數的允許值進行全面分類討論。題目中含有不確定的參數時，常因參數取值范圍的不同，使運算、結論都有受到影響的可能，而遇到這類情況就必須分類討論，對參數定界，使運算及結論成為確定的或某種條件下的運算或結果。

例1：解不等式 （a+1）x>a2-1。分析：針對x前的系數（a+1）既可以大于0，或等于0，也可以小于0。不同的情況下有不同的答案，故也需要分類討論。①當a+1>0 即a>-1時，則x>（a2-1）/（a+1）=a–1；②當a+1=0，即a= -1時，原不等式為0·x>0，故不等式無解；③當a+1<0 即a<-1時，則x<（a2-1） / （a+1）=a-1。綜合得：a>-1時，x>a-1；a=-1時，無解；a<-1時，x

（2）由圖形的不確定而引起的分類。有的題目在題設條件下圖形可能有幾種情形，因此要對每種情況進行分類討論求解，否則就可能漏解，這類問題多在立體幾何或平面解析幾何中出現。例2：如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm ，點P從點A出發沿AB邊想向點B以2cm/s的速度移動，點Q從點B出發沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q同時出發，經過幾秒后△PBQ和△ABC相似？分析：根據對應線段成比例，以及對應線段所夾的角相等，可以判定兩個三角形相似，但因為對應線段的不同，所以也應用分類討論。解：設經過t秒后，△PBQ∽△ABC，根據對應邊成比例：① BP：BA=BQ：BC，則（8-2t）/1=4t/2，解得，t=2；② BP：BC=BQ：BA，則（8-2t）/2=4t/1，解得t=0.8。綜合得：經過2秒或0.8秒后，△PBQ和△ABC相似。

（3）由變形所受到的限制而引起的分類。解題過程實際是一種變形過程，而好多的變形是受條件限制的。如等式兩邊同除以一個代數式時，要考慮這代數式的值是否為0；解不等式時，當兩邊同乘（除）以一個代數式時，考慮該代數式是正還是負；解無理不等式時，去掉根號前要考慮兩邊是否都大于0等等.分類討論作為一種重要的數學方法之一。一方面可以將復雜的問題分解成若干個簡單的問題，有利于問題的解決；另一方面，恰當的分類討論，可避免以偏概全，余值漏解。

數學并不神秘，不是只有天才才能學好數學，只要不懈努力，并掌握科學的學習方法，每個人都能學好數學。“在做中學會思考，在思中用心領悟”這句話道出了數學學習的真諦，即學好數學的關鍵是領悟，因此養成勇于實踐，勤于思考的習慣并掌握思考問題的基本方法對學好數學至關重要。