《方程的根與函數的零點》教學設計

向大勇

一、教學任務分析

1.通過對二次函數圖像的描繪，理解函數零點的概念，體會在解決問題過程的一般思維方法。

2.通過對一般函數圖像的描繪分析，領會函數零點與相應方程的關系，掌握零點存在的判定條件，培養學生對事物的觀察、歸納能力和探究能力。

二、教學重點與難點

重點：零點的概念及對零點存在性定理的準確理解。

難點：零點所在區間的確定。

三、教學基本流程

四、教學過程設計

（一）創設情境，感知概念

1.實例引入

解方程：（1） ；（2） .

意圖：通過純粹靠代數運算無法解決的方程，引起學生認知沖突，激起探求的熱情.

2.一元二次方程的根與二次函數圖象之間的關系

問題1：方程的根與對應函數圖像與x軸交點之間什么關系？

填空：

問題2：這個結論對一般的二次函數和方程都成立嗎？

學生討論，得出結論：一元二次方程的根就是函數圖象與x軸交點的橫坐標.

意圖：通過對二次函數圖象與相應方程的根的關系，為一般函數及相應方程關系作準備.

3.一般函數的圖象與方程根的關系

問題3：其他的函數與方程之間也有類似的關系嗎？請舉例！

師生互動，在學生提議的基礎上，老師加以改善，用幾何畫板展示如下函數的圖象：

y=2x-8， y=ln（x-2）， y=（x-1）（x+2）（x-3）

意圖：通過各種函數，將結論推廣到一般函數，為零點概念做好鋪墊.

（二）辨析討論，深化概念

4.函數零點

概念：對于函數y=f（x），把使f（x）=0的實數x叫做函數y=f（x）的零點.

問題4：零點是不是點？零點是不是f（0）？

〖即興練習〗函數f （x）= 的零點為_______

意圖：及時矯正“零點是交點”這一誤解.

5.歸納函數的零點與方程的根的關系

問題5：函數的零點與方程的根有什么共同點和區別？

（1）聯系：方程f（x）=0有實數根?函數y=f（x）的圖象與x軸有交點?函數y=f（x）有零點.

（2）區別：零點對于函數而言，根對于方程而言.

意圖：函數問題與方程問題有時可以相互轉化，這正是函數與方程思想的基礎.

（三）實例探究，歸納定理

6.零點存在性定理的探索

問題6：需要怎樣的條件，函數y=f（x）在區間[a，b]上一定有零點？

探究：（1）觀察二次函數f（x）= 的圖象：

在區間[-2，1]上有零點______；f（-2）·f（1）_____0（“<”或“>”）.

在區間（2，4）上有零點______；f（2）·f（4）____0（“<”或“>”）.

（2）觀察函數的圖象

①在區間（a，b）上___（有/無）零點；f（a）·f（b） ___ 0（“<”或“>”）.

②在區間（b，c）上___（有/無）零點；f（b）·f（c） ___ 0（“<”或“>”）.

③在區間（c，d）上___（有/無）零點；f（c）·f（d） ___ 0（“<”或“>”）.

意圖：通過歸納得出零點存在性定理.

7.零點存在性定理

若函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點.即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.

〖即興練習〗下列函數在相應區間內是否存在零點？

（1）f（x）= ，x∈[ ，2]； （2）f（x）= ，x∈[3，5].

意圖：通過簡單的練習適應定理的使用.

（四）正反例證，熟悉定理

8.定理辨析與靈活運用

例1 判斷下列結論是否正確，若不正確，請使用函數圖象舉出反例：

（1）已知函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，且f（a）·f（b）<0，則f（x）在區間（a，b）內有且僅有一個零點. （ × ）

（2）已知函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，且f（a）·f（b）≥0，則f（x）在區間（a，b）內沒有零點. （ × ）

（3）已知函數y=f（x）在區間[a，b]滿足f（a）·f（b）<0，則f（x）在區間（a，b）內存在零點.（ × ）

意圖：通過對定理中條件的改變，將幾種容易產生的誤解正面給出，促進對定理的準確理解.

9.練習

（1）已知函數f （x）的圖象是連續不斷的，有如下的x，f（x）對應值表：

那么函數在區間[1，6]上的零點至少有 （ C ）

（2）方程 的根所在的大致區間為 （ B ）

意圖：一方面促進對定理的活用，另一方面為突破后面的例題鋪設臺階.

（五）總結整理，提高認識

（1）一個關系：函數零點與方程根的關系：

（2）兩種思想：函數方程思想；數形結合思想.

（3）三種題型：求函數零點、判斷零點個數、求零點所在區間.

（六）布置作業，獨立探究

1.課后練習

2.思考題

方程 在區間______內有解，如何求出這個解的近似值？請預習下一節。