初中數學“圖形與幾何”領域教學目標與實施策略

摘要：從當前數學課程“圖形與幾何”領域的教學問題出發，依據課程標準，分析“圖形與幾何”領域的課程目標是建立空間觀念，發展幾何直觀，提高推理能力的合理性，并提出實現該目標的策略，幫助教師完整理解“圖形與幾何”的教育價值，全面落實該領域的課程目標。

關鍵詞：圖形與幾何 空間觀念 推理能力 教學策略

一、問題的提出

“空間與圖形”是《義務教育數學課程標準（實驗稿）》規定的四大領域之一，在《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標”）中被改名為“圖形與幾何”。關于它的教學目標，BOll年版課標有明確的闡述，為什么還要提出“圖形與幾何”的教學目標問題呢？

從新課程實驗開始，我們在調研中發現：在初中數學教學中，對于北師大版教材，教師感覺最困惑、最難處理的就是“空間與圖形”的教學目標與教學方式問題。比如，對于七年級上冊，教師就有以下認識與做法：

對于第一章《生活中的圖形》，有相當多的數學備課組長與教研組長認為：“本章沒有明確的知識點，可上可不上。”“這一章沒有明確的知識點，也不會有明確的考點，將來中考無法出題，可以不上。”“這一章是立體幾何，初一學生一開始就學習立體幾何，太難，應該移到后面學習。”“在學習中用觀察、切、剪、截、裁、拼、擺等方式，總是感覺不踏實、不適應。”因此，一些教師就真的不上了，更多教師則用自己的講、灌輸代替學生的做、體驗。

對于第四章《平面圖形及其位置關系》，教學“線段中點”時，很多教師總要補充用尺規作線段中點的內容，也會提出用“∵……∴……”的形式化方式表達線段中點概念和解決相關問題的要求。比如，教材第二節的隨堂練習第2題如下：

在直線l上順次取A、B、C三點，使得AB=4cm，BC=3cm，如果O是線段AC的中點，求線段OB的長度。

對此，教師要求學生的解題表述如下：

解：如圖1，∵AB=4 cm，BC=3cm，∴AC=AB+BC=4+3=7cm。

這樣做明顯過度地提高了要求。事實上，這些教師并不清楚教材關于邏輯推理能力培養的設計思路，也不清楚學生對邏輯關系的理解與邏輯關系形式化表達之間的關系。然而，更令人擔心的是，這些教師還自以為自己補充得高明。

還有的教師認為“七巧板”“圖案設計”是游戲內容，沒有明確的知識點，學生可以隨意做或不做，自己也就跳過去不上了。

當然，經過十多年的課程改革，上述現象已經有了極大的改變。然而，2011年版課標將“空間與圖形”領域的四個方面內容“圖形的認識”“圖形與變換”“圖形與坐標”“圖形與證明”改成“圖形與幾何”領域的三個方面內容“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”。對此，教師又有什么認識呢？

有的教師簡單地認為：“這一改變就是回到傳統的幾何體系。”有的教師認為：“現在教幾何與過去的區別就是幾何題目比過去簡單。”也有的教師認為：“圖形與幾何就是增加實驗。”……

眾多現象表明：課程標準把“幾何”拓展成“空間與圖形”“圖形與幾何”，但是教師還是以傳統幾何的觀念、教法、要求來指導當前“圖形與幾何”的教學，并沒有真正理解“圖形與幾何”的教學目標。所以，有必要使教師明確“圖形與幾何”的教學目標與實施策略。

二、傳統的幾何與“圖形與幾何”的中外對比

（一）我國傳統的幾何教學

長期以來，我國數學教學把中小學數學分為代數與幾何等，又把幾何分為平面幾何、立體幾何與解析幾何等。

平面幾何體系基本上受歐氏幾何的影響，具有嚴密的邏輯性，以培養學生的邏輯推理能力為核心目標。從初一或初二開始，幾何幾乎成為一門純粹的關于證明的學科，教材通篇都是由概念、定理、命題、圖形與習題組成的，用一個又一個嚴謹的、精練的、現成的、定論的、明確的結論或結果去論證或分析一個又一個復雜的問題或習題，而這類問題或習題本身又是規范的，總是可以證明或解決的，學生所需要的是技巧、模仿與熟練程度。所謂的“邏輯推理能力”，就是能用一個又一個的“∵……，∴……”的形式把已知條件與結論聯系起來。至于學生是否具有了“審問慎思，言必有據”的意識，是否學會了有條理地思考，是否明確了為什么要證明等問題，是不十分受重視的。對于要證明的數學習題意義在哪里，如何理解它的現實性、發展性、可解釋應用的價值等問題，也是不夠關心的。從結構布局看，幾何教材的三條主線——概念與定理之間的關系、圖形之間的相互聯系、習題的前后安排——都是圍繞培養邏輯推理能力的核心目標逐步展開的。特別是，“∵……∴……”的邏輯關系的形式化表達與邏輯關系的理解基本上同步。這不符合學生的認知規律。

盡管傳統的教學大綱也提出要發展學生的空間想象能力，但由于平面幾何的核心目標定位在邏輯推理能力上，要依靠平面幾何發展空間想象能力就勉為其難了。在具體內容的教學要求中很少有與空間想象有關的素材、理解和說明，所以，在初中難以實現空間想象能力的培養就成為必然。于是，長期以來，初中教師的頭腦中就形成了根深蒂固的觀念：初中平面幾何就是培養邏輯推理能力的，體現了“數學是思維的體操”，而培養空間觀念是高中立體幾何的任務。

（二）其他國家幾何教學的發展

“幾何”拓展為“空間與圖形”“圖形與幾何”是國際數學教育的一種趨勢。

俄羅斯的幾何教學在世界上一直保持著較高的水平。其學校幾何教材在不斷變化，軌跡如下：

20世紀60年代前的近50年里，學校所用的幾何教材是《初等幾何》（A.P.吉西略夫）。這是一本典型的歐氏體系教材，供6～10年級學生使用。

20世紀60年代，蘇聯興起數學教育改革，導致數學課時數由每周7課時減為每周5課時，數學教材中引人大量的理論概念，幾何課程由矢量和笛卡兒坐標構成。這時，學校所用的教材先為著名數學家A.H.柯爾莫哥洛夫的幾何教材，結果學生的數學知識與技能下滑；于是，又改為另一位幾何學家A波戈列洛夫的幾何教材。該教材以10條公理為基礎，利用演繹方法推出其余結論。

20世紀80年代，學校開始使用L阿達納相的平面幾何教材。它仍然沿襲歐氏幾何風格。

世紀之交，《直觀幾何》（L.V.沙雷金和L.N.葉爾岡日耶娃合著）進入了學校。《直觀幾何》的學習內容相當現實、有趣且富有挑戰性。比如，用俄羅斯恢宏典雅的建筑展示圓、圓弧的存在及對稱的效應，用雅典王泰西戰勝彌洛陶羅的古希臘神話引出奧妙無窮的迷宮知識。教材所呈現的數學史話、傳說故事、生活事例等可以不經意地引發學生對生活幾何的思考，激起學生的學習欲望；同時數學游戲、謎語、問題等使得該書充滿了樂趣與挑戰。《直觀幾何》改變過去幾何嚴謹、枯燥、抽象的呈現方式，用生動有趣的生活哲理，變化多姿的可視圖形取代公理體系與單調的點、線、面。盡管如此，《直觀幾何》并沒有放棄幾何教育的主體目標：在大量的動手實踐操作中鍛煉學生的邏輯思維、空間想象、演繹推理等多種數學能力。正如N.杜勃林教授在2000年8月第9屆國際數學教育大會上的發言所指出的：該書從人類文化的視角展示了幾何的古老和美麗的生機，強調了幾何的價值不僅在于訓練思維和實際應用，更在于它所蘊含的文化因素揭示了它內在的魅力，這也是幾何吸引學生的實質。

有人在比較中美教學理念和內容后，指出美國幾何教學中值得學習的四個方面：

（1）提高“變換”在學校數學中的地位。美國學生學習多種類型的幾何變換，如二維甚至三維圖形的平移、反射、旋轉、放縮變換，并且利用多種形式來表述這種變換。他們不僅學習單個幾何變換，還學習幾何變換的組合以及逆變換。

（2）鼓勵學生做出調查與猜想。

（3）豐富幾何的學習內容，盡可能引入其他科學與技術工具。

（4）組織豐富多彩的活動，吸引學生對圖形與空間問題的興趣。

國際數學教育的發展表明，隨著計算機技術的應用，經濟、社會的發展對數學素養提出了新的要求，“空間與圖形”的教學呈現出新的特征：更加強調從實際生活出發，聯系社會的發展，體驗圖形的建模過程。此外，基于“演繹推理并非幾何所獨有，數學的其他分支也具有培養演繹推理能力的素材與功能；科學的發現、創造與發明并非都依靠演繹推理，更多的是依靠觀察、實驗、類比、歸納等方式的合情推理”的認識，“空間與圖形”的教學對幾何推理的要求發生了變化：從純粹的演繹推理轉向較少的演繹推理、更多的合情推理；從單純地強調幾何的推理價值轉向更全面地體現幾何的教育價值，特別是空間觀念以及觀察、操作、實驗、探索等方面的“過程性”教育價值。

當代偉大的數學家M.阿蒂亞先生指出：“幾何是數學中這樣的一個部分，其中視覺思維占主導地位……幾何直覺是增進數學理解力的很有效的途徑，而且可以使人增加勇氣，提高修養。”作為邏輯推理的體系，幾何也許是可以替代的，但作為一種直觀、形象化的數學模型，幾何是難以替代的。由圖形帶來的直觀能增進學生對數學的理解，激發他們的創造力；特別是隨著可視技術的應用，幾何直觀的作用越來越大。

三、“圖形與幾何”領域課程目標的理解

（一）“圖形與幾何”領域的課程目標

2011年版課標對“圖形與幾何”領域的課程目標作了進一步完善。將知識技能、數學思考方面要實現的總目標修改為：“經歷圖形的抽象、分類、性質探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎知識和基本技能。”“建立空間觀念，初步形成幾何直觀，發展形象思維與抽象思維。在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。”將知識技能、數學思考方面要達到的第三學段（7～9年級）目標規定為：“探索并掌握相交線、平行線、三角形、四邊形和圓的基本性質與判定，掌握基本的證明方法和基本的作圖技能；探索并理解平面圖形的平移、旋轉、軸對稱；認識投影與視圖；探索并理解平面直角坐標系及其應用。”“在研究圖形性質和運動、確定物體位置等過程中，進一步發展空間觀念；經歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀。體會通過合情推理探索數學結論，運用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數學活動中，發展合情推理與演繹推理的能力。”

從2011年版課標的規定中不難發現，通過“圖形與幾何”內容的學習，學生要掌握圖形的性質與判定，掌握證明方法、推理和作圖技能，理解變化的基本知識，建立空間觀念，發展幾何直觀，提高合情推理與演繹推理的能力。由此可見，“圖形與幾何”領域的課程目標較傳統幾何的教學目標的定位已經發生了根本性的改變，特別增加了建立空間觀念，發展幾何直觀，提高合情推理能力的目標。

（二）“圖形與幾何”領域課程目標的合理性

首先，孩子最先感知的是三維世界，從小接觸的玩具本身就是立體的實物，學會用眼睛觀察時看到的滿世界都是立體的事物。人類認識周圍世界的事物，描述事物的形狀、大小，往往也是立體的、在空間中的。可見，空間觀念的培養價值在于促使學生更好地認識自己生活的空間，理解周圍的現實世界，促進學生更好地生存與發展。

其次，有研究表明：在初一至初二年級，學生空間圖形的認知能力迅速發展，特別表現在圖形展開、折疊和旋轉方面；到了初二至初三年級，學生空間圖形的認知能力仍然快速發展，表現在圖形識別與旋轉方面。這說明在初中階段學習平面及立體的圖形，對發展空間觀念的作用是顯而易見的。

再次，盡管空間觀念、幾何直觀的培養是“圖形與幾何”領域有別于其他領域的核心目標，但必須看到，圖形之間的內在聯系所構成的嚴謹、清晰的邏輯體系也是其他領域無法與“圖形與幾何”領域相比的。所以，“發展合情推理與演繹推理的能力”，“學習有條理地思考與表達”，“掌握證明方法、推理和作圖技能”，“掌握應用綜合法證明的格式，感受公理化思想”也是恰當的。

四、“圖形與幾何”領域教學目標的實施策略

為了將2011年版課標中的課程目標從理念轉化為實踐，需要在素材選擇、素材呈現、教學策略等方面做出努力。

（一）教材的結構與布局

為了實現2011年版課標提出的課程目標，北師大版初中數學教材對“圖形與幾何”領域，打破了傳統的歐氏幾何體系，改變了過去圖形之間、概念與定理之間嚴謹的邏輯體系，以“建立空間觀念”和“提高推理能力”為兩大主線，將“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”三個方面的內容有機地整合在一起，概括如表1所示。

教材的結構與布局始終關注“空間觀念的建立”與“推理能力的提高”。在建立空間觀念方面，教材先立體再平面，借助圖形的變換，運用翻折、平移、旋轉、測量、實驗等手段加深對圖形性質的認識。在提高推理能力方面，教材又分成兩條線索。一條是培養合情推理能力，主要是通過動手操作，如剪、拼、截、折、裁等，運用圖形變換的方式發現圖形的性質，探索蘊含的規律，以培養創新意識，形成創造技能。另一條是培養演繹推理能力，分三個階段：先滲透邏輯關系的理解，再明確理解邏輯關系，然后進入演繹推理的形式化表達。這三個階段合乎學生認知水平的發展，類似人類文字語言能力的發展：先學會說話，再學會寫話，后學會作文。

（二）素材的選擇與呈現

首先，教材在章節主題圖、標題上實現了生活化、趣味化。比如，第一章《豐富的圖形世界》的主題圖是一張城市照片，其中矗立的高樓大廈擁抱著城市公園、縱橫交錯的街道；第四章《基本平面圖形》的主題圖是由時鐘、足球射門、窗格、鳥巢、村莊組成的。又如，在修訂前的教材中，一些章節的標題是“臺球桌面上的角”“有趣的七巧板”“鏡子改變了什么”“鑲邊與剪紙”“螞蟻怎樣走最近”“它們是怎樣過來的”“測量旗桿的高度”“你能肯定嗎”“太陽光與影子”“車輪為什么做成圓形”等等——可惜，這一特色在修訂后的教材中被極大地削弱了。

其次，教材選擇了大量現實的、有趣的、富有挑戰性的學習素材。比如，第一章第1節《生活中的立體圖形》以書桌、書架、學具、玩具等組成的簡易書房為學習素材；第四章第3節《角》以時鐘、尖尖的屋頂、足球射門為學習素材。又如，八年級上冊《勾股定理》一章提供的素材有勾股定理的歷史，古巴比倫人、古代中國人、古希臘人、古埃及人的貢獻與發現，與“外星人”聯系的“使者”，勾股數與費馬大定理，螞蟻爬過圓柱體，《九章算術》中的趣題，買竹竿、拔蘆葦、算梯子長等。

再次，教材對素材的呈現采用先立體再平面、先簡單再復雜、逐級遞進、螺旋上升的方式，從而逐步滲透建立空間觀念、提高推理能力。內容的編排則盡可能地展現知識的形成與應用過程，即以“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的模式展開所要學習的數學主題。教材體例按下列方式展開：問題情境（以學生自身和周圍環境中的現象，自然、社會與其他學科中的問題為知識學習的切入點，突出數學與現實世界、與其他學科之間的聯系，使學生感受到數學的現實意義和應用價值）——問題串（設立有層次的問題）——活動（自主探索與合作交流）——思考與整理（提煉出數學對象）——表達（用自己熟悉的方式、語言表達學習對象）——明晰（以較為正規的數學語言表達主要的數學對象，形式多樣化）——“做一做”“想一想”“議一議”（在提供學習素材的基礎上，依據學生已有的知識背景和活動經驗，提供大量的操作、思考與交流的學習機會）。

（三）空間觀念的建立策略

首先，要重視第一章《豐富的圖形世界》的教學。原因有三：其一，本章的內容是從立體到平面地編排的，它合乎人們認識周圍世界的規律，合乎空間觀念的認知規律。其二，這些內容在以往的幾何教學中無足輕重，它們沒有系統性，沒有嚴密的邏輯聯系，很難用定義、定理、性質等串到一起；沒有知識點，用模糊的日常語言描述常常會不夠清楚，用嚴格的數學語言描述常常會難以接受。這就決定了學生的學習方式要從傳統的坐在位置上聽講或在草稿紙上寫、畫轉變為觸摸、裁剪、模擬、觀察、思考、嘗試、描述、交流、辯論，甚至走出課堂。這種自主探索、動手實踐、合作交流的學習方式，能夠較好地幫助學生建立空間感。其三，本章的教學能促進教師改變初中平面幾何就是培養邏輯推理能力、高中立體幾何才是建立空間觀念的觀點。正如有教師備課時所說：“這樣的立體幾何，學生年齡稍微大一些時就不會覺得難了，能否移到后面去上？”這種觀念不改，就不可能理解“幾何”拓展為“圖形與幾何”的意義與價值。

其次，空間觀念建立的初期要關注兩個方面：第一個方面，要先做再想。比如，要通過切蘿卜或其他可切的材料制作的正方體，認識正方體的截面，學生會發現要切出六邊形截面是不容易的。第二個方面，要先想再做。比如，對于什么樣的“連方圖”可以折疊成正方體，要先進行“如果……那么……”的思考，再通過動手折的操作加以驗證。這樣將體驗與思辨結合起來，促進空間觀念的建立。另外，要加強學生用語言描述實物的堆砌與圖形的位置的訓練。比如，打電話向同學描述自己所在的位置，觀察圖2所示的實物組成與形狀等。

再次，隨著空間觀念的發展，生活經驗的豐富，認知水平的提高，要讓學生逐步用對折、平移、旋轉、分解、組合、運動、確定方向和位置等方式設計、理解圖形，從而進一步發展空間觀念。已有研究表明：兒童的知覺經驗和對客體的熟悉因素是空間認知發展的重要條件。所以，教學中呈現的學習素材要盡可能是實物的，盡可能是可感知、可觸摸的；要重視演示實物教具和模型，重視讓學生動手操作，加強直觀教學。同時，有條件的學校應積極發揮計算機技術在建立空間觀念方面的作用，比如使用《Z+Z智能教育平臺》《幾何畫板》等數學教學軟件。

總之，空間觀念是從現實生活中積累的豐富幾何知識體驗出發，通過活動逐步積累起來的。其途徑是多樣的，應該包括：生活經驗的回憶、實物觀察、動手操作、想象、描述、聯想、表示、分析和推理、分解和組合、變換和運動等。

（四）推理能力的提高策略

2011年版課標中的推理能力是指合情推理能力與演繹推理能力。合情推理是根據已有的知識和經驗在某種情境和過程中運用觀察、實驗、類比、歸納等方式推出可能的結論的推理，主要形式為類比推理和歸納推理。演繹推理的主要形式為三段論，在數學中的表現形式為“∵……∴……（根據……）”。

長期以來，在幾何教學中，我們強調的是“形式化”的演繹推理，忽視了合情推理能力的培養。而事實上，幾何中許多結論的發現都是從觀察、實驗、類比、歸納開始猜想，然后再尋找嚴密的演繹推理給予證明的。由此可見，學生獲得數學知識亦應該從合情推理開始。更何況，傳統的幾何教學把演繹推理搞得很難，使所解決的問題都是規范的、可證明的、可解決的。這本身缺乏創造性與挑戰性。傳統的幾何教學對推理能力的培養還有一個問題：把學生對邏輯關系的理解與邏輯關系（演繹推理）形式化的表達混在一起。這猶如孩子才剛開始學習說話，就要求他講究語法、會寫文章一樣，不符合學生的認知規律。演繹推理的形式化表達是較高的、抽象的要求。學生剛開始學習幾何就提出這一要求，當然困難重重，學不好，學不會，沒有興趣。

“圖形與幾何”教學關于演繹能力的培養要遵循下列原則：

1.提早滲透“理解邏輯關系”，推遲“邏輯關系的形式化表達”，采用三步走的策略。

第一步，學習“說話”——滲透“理解邏輯關系”。從七年級上冊第一章，比如在“展開與折疊”與“從不同的方向看”中，開始滲透運用“如果……那么（就會）……”的方式思考。在第四章中繼續滲透“理解邏輯關系”，比如對于比較線段的長短、角的大小，利用中點、角平分線計算，說明平行、垂直關系等，都可以讓學生用自己喜歡的方式學習用“如果……那么……”的方式思考。

第二步，學習“寫話”——理解邏輯關系。讓學生用自己熟悉的喜歡的方式、語言表達邏輯關系，表達清楚即可。開始出現在七年級下冊第二章《相交線與平行線》，到第四章《三角形》、第五章《生活中的軸對稱》，到八年級上冊第一章《勾股定理》、第三章《位置與坐標》。至此，相繼出現了“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”三個方面的內容。在這個階段，教材對邏輯推理能力的要求定位是理解邏輯關系，可以用不同方式表達邏輯關系。比如，教學中給出如下問題：

如圖3，已知AD與BE交于點C，且CD=CA，CE=CB，說明AB=DE。

無論學生給出下列哪種說明方式，教師都應該給予肯定與鼓勵：

方式2（借助圖形）因為有兩邊及其夾角對應相等，所以△ABC與△DEC全等，這樣AB就等于DE。

方式1

（用言語表達）在△ABC與△DEC中，CA=CD，CB=CE，又有∠ACB與∠DCE是對頂角，所以∠ACB=∠DCE，根據“邊邊角”可得△ABC和△DEC全等，可以推出AB等于DE。

第三步，學習“作文”——演繹推理形式化表述。直到八年級上冊第七章《平行線的證明》，才開始真正意義上的演繹推理。有了前面“說話”“寫話”的積累，學生能較好地理解邏輯關系；在此基礎上再用規范的數學語言表述出來，猶如水到渠成。然后，系統學習演繹推理，具體的內容有八年級下冊第一章《三角形的證明》、第六章《平行四邊形》，九年級上冊第一章《特殊平行四邊形》。至此，完成了初中階段幾何證明的學習。

2.2011年版課標力圖通過調整證明依據，減少題量，降低證明難度，以達到學生既能掌握證明的基本方法，又能領會學習證明的意義的目的。“圖形與幾何”領域中列出了九條可以作為證明依據的“基本事實”，這是一個局部擴大的公理化體系。而由“基本事實”出發證明的有關線段、平行線、三角形、四邊形等的性質也可以作為證明的依據。因此，教師在教學中，達到“審問慎思，言必有據”的目的即可；不要用偏題、難題、怪題，借培養推理能力之名，增加學生不必要的負擔。

3.教材關于證明的編排遵循反復呈現、螺旋上升的原則。這也提醒教師在教學中，不要過早地隨意拔高；要在七、八年級各章節中重視動手操作、實踐體驗，加強理解邏輯關系過程的教學。

4.培養演繹推理能力的同時，也要重視合情推理能力的培養。無論是2011年版課標還是北師大版教材，都十分重視這一點。比如，2011年版課標中就有一例，如下：

例62探索并了解：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等。

[說明]通過探索和了解此結論的證明，幫助學生體驗發現結論到驗證結論的過程。

教學中可以參考安排如下的過程：

（1）發現結論。在透明紙上畫出如圖4的圖：設PA、PB是00的兩條切線，A、B是切點。讓學生操作：沿直線OP將圖形對折，啟發學生思考，或者組織學生交流。學生可以發現：

PA=PB，∠AP0=∠BPO。

這是通過實例發現圖形性質的過程。啟發學生由特殊到一般，通過合情推理推測出切線長定理的結論。

（2）證明結論的正確性。如圖5，連接OA和OB。因為PA和PB是00的切線，所以∠PA0=∠PBO=90°，即△POA和△POB均為直角三角形。又因為OA=OB和OP=OP，所以△POA和△POB全等。于是有

PA=PB，∠APO=∠BPO。

這是通過演繹推理證明圖形性質的過程。

由此可見，合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，都是研究圖形性質的有效工具。

上述證明過程沒有采用形式化的三段論，但有利于初學者把握證明的條理和說理的邏輯。

正如張奠宙先生在《直觀幾何》的前言中所說：“幾何學習概括為四個步驟：直覺感知——操作確認——思辯論證——度量計算。”我國傳統的幾何重視后兩個步驟，忽視了前兩個步驟。2011年版課標把“幾何”拓展為“圖形與幾何”，為我們協調地將四個步驟融會貫通創造了條件與空間。有意義的幾何教學應該從學生的生活體驗出發，建立在學生已有的認知水平上，實現發展學生的空間觀念、幾何直觀，培養學生的推理能力的目標。