從“經驗”走向“理解”

【摘要】在數學教學中，教師根據學生已有經驗，借助數學模型，幫助學生真正實現概念的理解：數學結合完成“因數和倍數”意義的建構，有序思考形成找“因數和倍數”的技能與方法，借助素材引導學生在比較觀察中尋找特征。

【關鍵詞】數形結合 有序思考 觀察比較

在教學中，我們不僅要讓學生在已有經驗上有量的提升，更應當讓學生有從“經驗”走向“理解”的這樣一個質的飛躍。鄭毓信曾指出：數學的發展主要表現為以已有的知識為基礎去建構新的理論。從“學生的現實”去尋找教學的素材，不僅有利于學生理解所學知識的內涵，還能夠更好地提示相關數學知識之間的內在關聯。結合蘇教版數學五年級下冊“因數和倍數”的教學，談談如何引導學生從“經驗”走向“理解”，讓學生根據已有經驗，借助數學模型，真正實現概念的理解。

一、數形結合，在經驗中完成“因數和倍數”意義的建構

片段1：因數和倍數的認識

師：同學們，用12個同樣大的正方形拼成一個長方形，想想看可以有哪些不同的拼法？誰來說說看，每排幾個？擺幾排？乘法算式是什么？

生1：每排6個，擺2排。乘法算式6×2=12。

生2：每排4個，擺3排。乘法算式4×3=12。

生3：每排12個，擺1排。乘法算式12×1=12。

生4：每排3個，擺4排。乘法算式3×4=12。

（根據學生的回答，師出示各種擺法）

師：同學們對比一下第四位同學和第二位同學的拼法，有什么想法？

生：只要把圖形倒下來就是一樣的。

師：只是擺放的位置不同，一個橫著擺，一個豎著擺，其實是同一種拼法，只能算一種。那每排5個可以嗎？為什么呢？

生：不可以。1排5個，兩排10個，還多了2個。

師：是不是這樣呢？

（根據學生的回答，師出示擺法）

師：看來，只有這3種不同的拼法。根據3種拼法，我們找到了對應的3個乘法算式。可別小看這3個算式，里面藏著我們今天要來學習的因數和倍數的知識。（板書：因數和倍數）

師：一起來看3×4=12這個算式，猜一猜誰是誰的倍數？

生：12是3的倍數，12也是4的倍數。

師：對，12是3的倍數，反過來我們就說3是12的因數。（板書：12是3的倍數，3是12的因數）

師：誰來完整地說一說4和12有什么關系？

生：12是4的倍數，4是12的因數。（板書：12是4的倍數，4是12的因數）

師：你能把這4句話完整地說一說嗎？

生：12是3的倍數，3是12的因數；12是4的倍數，4是12的因數。

師：看，這兒還有兩個乘法算式，你會說嗎？同桌兩人互相說一說。

師：12是12的倍數，感覺有點特別，不過，確實，12是12的因數，12也是12的倍數。

師：根據乘法算式同學們知道了誰是誰的因數，誰是誰的倍數，那你們能自己寫一個乘法算式說一說嗎？寫在練習紙的反面。

師：我也來寫一個3×0=0。誰來說一說？

（沒有學生舉手）

師：咦，怎么不說啦？結合剛才拼長方形的過程想想看……

生：每排3個，沒有正方形，不能拼。

師：所以我們在研究因數和倍數時，所說的數一般指的是不為0的自然數。（一般不考慮0）

評析：

華羅庚曾說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。因數和倍數是兩個非常抽象的數學概念，學生又是初次接觸，根據學生已有經驗以解決問題“12個小正方形拼成一個長方形，有哪幾種拼法”為引子，借助乘法算式引出因數和倍數的意義，學生展開空間思維，方法多樣。這樣導入激活學生的形象思維，透過數學“形”與“數”的潛在關系，化解了抽象概念的難度，有效地實現了原有知識與新知識的鏈接。學生在認識了因數和倍數關系的基礎上，教師通過“3×0=0”這個算式，引導學生再次結合拼圖的過程，在具體情境中理解“在研究因數和倍數時一般不考慮0”，難度降低，效果較好。

二、有序思考，形成找“因數和倍數”的技能與方法

片段2：有序找因數

師：36的因數是不是只有一個4呢？

生：不是。還有其他的。

師：那你能把36所有的因數一個不落的全部都找出來嗎？

（生嘗試找36的因數）

生1：我找到了4個。

生2：我找到了6個。

師：還有找到更多的嗎？

生3：我找到了9個。

師：哇，太厲害了。說一說你是怎樣找到這么多的？

生：我是想（ ）×（ ）=36的，從1乘幾開始想起。

師：這種想乘法算式的方法簡直太妙了！你們覺得妙在何處？

生1：他是按順序想下去的，不會遺漏。（板書：有序）

生2：一個乘法算式可以找到兩個因數。（板書：一對一對找）

師：從幾開始有序地往下想？又想到什么時候為止呢？

生：從1開始有序地往下想乘法算式，想到重復為止。

師：還有同學也找到了9個，但方法不一樣的嗎？

生：我是想36÷（ ）=（ ），36÷1=36，1和36是36的因數；36÷2=18，2和18是36的因數；36÷3=12，3和12是36的因數；36÷4=9，4和9是36的因數；36÷6=6，6是36的因數。

師：這種方法也非常不錯。同學們看，這兩種方法有什么不同嗎？

生：一種是乘法算式，另一種是除法算式。

師：這兩種方法在找的時候有什么共同的地方？

生1：不管是乘法還是除法我們都能找到36所有的因數。

生2：都是從1開始有序地往下想。（有序）

生3：都想到重復為止不再往下想了。（不重復）

生4：都是一個算式找到兩個因數。（一對因數）

評析：

通過比較兩種方法的不同點，體會到找一個數的因數可以用“（ ）×（ ）=36”，也可以用“36÷（ ）=（ ）”的方法來思考，再通過找兩種方法的相同點，進一步體會“一對一對”和“有序”找一個數的因數的優勢，避免遺漏或重復，突出了有序思考的重要性，有效地突破了教學的難點。數學的性質決定了數學教學既要以學生思考的有序性為基礎，又要培養學生思想方法的有序性。只要做到有序思考，我覺得這兩種方法可以并進，學生可以根據自己的喜好選擇解決問題的方法。下面就安排了這樣一個環節，用喜歡的方法找一找18的因數，進一步鞏固了找因數的方法。

三、借助素材，引導學生在比較觀察中尋找特征

片段3：因數和倍數的特征

師：用自己喜歡的方法找一找18的因數。

師：同桌互相說一說24和16的因數。

師：現在一個數的因數都會找了，那a的因數你會找嗎？

（學生疑惑，出現困難）

師：有點難，但是它的因數中一定會出現幾呢？

生：a的因數中一定會出現1和a。

師：為什么？

生1：一個數最小的因數都是1。

（課件豎著圈出所有數中的因數1）

生2：一個數最大的因數是它自己。

（課件豎著圈出所有因數中的本身那個數）

生3：最大的因數是自己，所以因數的個數是有限的。

評析：

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：要重視從學生的生活實踐經驗和已有的知識中學習和理解數學。如果只是通過比較幾個數的因數的共同特點，對于學生來說思考的力度不夠大，沒有挑戰性而且抽象。于是在這里筆者就安排了找一個字母a的因數，學生起初是一愣，“但它的因數中一定會出現什么”這個問題一出，學生的眼睛就亮了，大腦快速運轉進行知識的梳理和整合，有的學生就像發現新大陸一樣找到了1和a這兩個因數，獲得了極大的成功感和滿足感。通過找字母a的因數，學生其實已經初步感受到了一個數因數的特征：最大因數是本身、最小因數是1、個數是有限的，由此避免了學生找特征時無序的現象。可見，在數學教學中，借助好的素材，可以有效地激發學生學習的興趣，可以增強學生的思維寬度，可以有利于學生將已有知識進行整合，可以有利于學生知識的動態生成，更有利于學生對抽象概念的理解。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]鄭毓信.小學數學概念與思維教學[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014.