數學概念自主學習的探索雙曲線的定義與標準方程的教學實錄

高志才

國際上杰出的未來學家阿爾溫·托夫勒曾經有一句名言：“未來的文盲不再是目不識丁的人，而是沒有學會如何學習的人.”培養學生的自主學習能力，讓學生終身受益，已成為當務之急.本文就雙曲線的定義與標準方程談如何對數學概念進行自主學習.

一、以舊帶新，啟迪思維（2分鐘）

復習：（1）橢圓的定義是什么？定義中哪些字非常關鍵？

（2）橢圓的標準方程是什么？a，b，c是何種關系？

（3）如何判斷焦點位置？

設計意圖：雙曲線與橢圓有著密切的聯系.為了學生更好地學習雙曲線的定義與方程，先復習橢圓定義及其與定義密切相關的參數變化，既檢測了學生對前面相關知識的掌握情況，同時又為雙曲線概念的學習打下良好的基礎.

二、設障立疑，激發動機（1分鐘）

提出問題：平面內與兩個定點F1，F2的距離的差等于常數的點的軌跡是什么？教師動畫演示.

設計意圖：單刀直入，開門見山提出問題，激發學生的學習興趣，同時教給學生“由此及彼”發現問題的一種方法.

三、閱讀思疑，得窺門徑（14分鐘）

1.布置任務：雙曲線及其標準方程.

2.閱讀教材：P52—55的教材“探究”之前.

3.閱讀時間：14分鐘.

4.思考問題：大屏幕打出問題.

（一）關于雙曲線的定義

1.雙曲線的定義是什么？它是怎樣得來的？

2.為什么叫“雙”曲線？為什么定義中要加絕對值？不加絕對值行嗎？你認為雙曲線的定義中有哪些要注意的問題？

3.怎樣記憶定義比較通順？采用什么方法來記憶能保持記憶的長久和理解的深刻？

設計意圖：打破看懂教材，會做些題就是自主學習的舊觀念.通過學習，一方面，學生要清楚所學知識的來龍去脈，弄清知識間的內在聯系，明確學習的必要性；另一方面，還要熟記定義，深化對定義的理解.培養學生類比能力、辨析能力、記憶能力，發現問題、分析問題的能力，以及思維的深刻性與敏捷性.

【自我檢測】

設計意圖：加深學生對定義的理解，體驗收獲的喜悅.

（二）關于雙曲線的標準方程

1.怎樣“建系”來推導方程？為什么這樣建系？怎樣化簡方程？你能在三分鐘之內推導出雙曲線的標準方程嗎？

2.為什么叫雙曲線的標準方程？雙曲線的標準方程有幾種？它們有什么特點？你想怎樣記憶方程？怎樣比較這些類型的方程？如何根據雙曲線的標準方程來判斷焦點的位置？方程中的a，b，c之有何關系？

3.雙曲線還有其他類型的方程嗎？方程的簡單與煩瑣取決于誰？

4.如何區別橢圓和雙曲線的標準方程？

5.求雙曲線的標準方程有幾種方法？

設計意圖：（1）通過建系的分析與思考滲透并提煉數學的對稱美、和諧美、簡潔美；培養學生發現問題、分析解決問題的能力以及樹立求簡意識.

（2）通過方程的推導培養學生由此及彼的合情推理，提高運算能力，豐富解題經驗與技巧.

（3）通過對橢圓與雙曲線定義與標準方程的剖析，有助于學生克服橢圓學習中的思維定式，同時培養學生的辨析能力以及思維的深刻性.

【自我檢測】

設計意圖：（1）強化標準方程的特點，熟悉標準方程的形式及a，b，c間的關系，能區別橢圓和雙曲線的方程.

（2）能熟練準確求雙曲線的標準方程、對于待定系數法能區別對待，感受雙曲線統一的標準方程mx2+ny2=1（mn<0）解決問題的優勢.

（3）在運用中鞏固和加深對雙曲線的定義及其標準方程的理解，培養能力，讓學生在“練”的過程中通過反思、感悟，優化知識結構.

（4）自主學習不是花拳繡腿，要把自主學習落到實處，要向課堂要效率.題型要全，難度適中，重點突出，難點分散，反饋及時.學生要練有所得，且得之深刻，真正做到當堂消化，當堂理解，扎扎實實練好基本功.

三、解惑釋疑，洞達事理（15分鐘）

現代課程理論認為，課程是一種對話，交流、體驗和發展.既然是對話，那么，教師和學生之間應當具備民主的、平等的溝通，共同筑起探討的平臺，教師是組織者、引導者、旁觀者，從中，教師學會了傾聽，學生學會了懷疑、學會了批判，因而得到了發展；既然是交流，必定是教師與學生的互動，在互動中，學生的主體意識被喚醒，人人學有價值的數學，人人都能獲得必要的數學，不同的人在數學學習中得到不同的發展.學生的潛能被激發，新的思想在交流中產生，從而加深對數學概念的理解和認識，提高學生自主學習能力.

（一）關于雙曲線的定義

1.雙曲線定義的由來：類比（橢圓）的結果，實踐（試驗）的產物.

2.因為雙曲線是由對稱的兩部分曲線組成的，所以稱之為雙曲線.定義見教材.

注意事項：

（1）定義中必須加絕對值，沒有絕對值就不能成“雙”了，只能表示雙曲線的一支.只有加絕對值才和諧、對稱，才完美.

（2）常數小于兩個定點間的距離.（直觀記憶法：三角形兩邊之差小于第三邊）

特殊地，當這個“常數”=|F1F2|時點的軌跡是兩條射線.

當這個“常數”大于|F1F2|時的點的軌跡是不存在.

3.語言表述：平面內到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數的點的軌跡叫作雙曲線.

其中，常數小于兩個定點間的距離.

說明：教學中發現，學生即使記住定義，絕大多數學生也都是不假思考照本宣科地按照教材的寫法記憶，導致表述混亂，重點不突出.針對這一情況教師需用適宜的方法對學生加以引導，使他們深刻理解數學概念.

記憶方法：對比記憶.橢圓是距離之和，雙曲線是距離之差（要加絕對值）.endprint

學生提出的問題：定義中的“常數”可以為零嗎？不可以，是正數.

（二）關于雙曲線的標準方程

1.怎樣建系：取過焦點F1，F2的直線為一個坐標軸，線段F1F2的垂直平分線為一個坐標軸.

2.怎樣化簡方程：兩次平方.

3.由于是以雙曲線的對稱軸為坐標軸建系，此時得到的方程最簡單，所以稱為標準方程.

說明：關于建系與方程的推導做一個微課.

4.雙曲線標準方程的特點：

雙曲線的標準方程的結構是平方“差”等于1，而橢圓的標準方程結構是平方“和”等于1.

標準方程有兩種：它們之間的關系是x，y互換即可.a2=c2-b2.

如何根據方程判斷焦點位置？先化為標準方程，然后橢圓看大小，所以雙曲線看正負.

記憶方法：口訣記憶.橢圓看大小，雙曲線看正負.

雙曲線還有其他類型的方程，這樣的方程有繁有簡.如，只以一條對稱軸為坐標軸，不以對稱軸為坐標軸.而方程的繁簡取決于坐標系的建立.

（三）橢圓與雙曲線的比較

1.橢圓與雙曲線的定義與標準方程的異同：

橢圓的定義：“和”；方程：平方“和”=1；

雙曲線的定義：“差”；方程：平方“差”=1.

2.兩種方程中參數a，b，c之間的關系：

橢圓中a2=b2+c2，雙曲線中a2=c2-b2.

3.焦點位置的確定：橢圓看大小，雙曲線看正負.

設計說明：由于雙曲線與橢圓內容極其相似，所以在課堂上應及時進行比較以加深學生對知識的理解和掌握.

學生提出的問題：（1）方程的化簡有沒有把范圍擴大的可能？

（2）方程的推導方法直接平方可以嗎？用換元的方法行嗎？這樣的問題通過微課幫學生解決.

（四）怎樣求雙曲線的標準方程

1.直接法：教材P55練習題（1）.

2.待定系數法：教材P55練習題（2）.

3.定義法：教材P55例1和教材P55練習題（3）.

設計意圖：（1）會用定義求雙曲線的方程，培養學生思維的深刻性.

（2）弄清求雙曲線的標準方程的基本方法：待定系數法.關鍵是先定形后定量.（若焦點不定，則要注意分類討論）

四、反思總結，融會貫通（5分鐘）

先由兩名學生總結，再師生合作一起完善總結.

（一）知識總結

1.雙曲線的有關概念.

2.雙曲線標準方程，如何由方程判定其焦點所在坐標軸.

（二）方法

1.研究方法：觀察、比較、概括、歸納、類比、分析.

2.學習方法：類比.

3.解題方法：（1）定義法（用定義解題）；（2）標準方程的求法：直接法、待定系數法、定義法.

（三）數學思維策略

數形遷移、由此及彼.

（四）數學思想

數形結合、等價轉化.

設計意圖：通過畫龍點睛，提綱挈領的小結，對所學知識進行提煉升華，形成學生自己的認知結構.同時培養了學生的抽象概括能力.通過提煉數學的基本思想方法，學生透過現象看本質，掌握了數學的精髓，提高數學素養，提升了思維品質.

五、自我反饋，評價提高（8分鐘）

設計意圖：題型有選擇題、填空題.主要考查雙曲線的定義、焦點坐標、求標準方程和方程的討論以及a，b，c間的關系.通過檢測題，查漏補缺，及時發現不足，并在課后加以改進.既務求當堂達標，又平中見奇，余韻悠長.endprint