立足數(shù)學(xué)本質(zhì)深化函數(shù)意識提升思維能力

鄭婷

【摘要】在初中數(shù)學(xué)階段，“函數(shù)”對學(xué)生而言是抽象的，通過經(jīng)歷探索實際問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，由常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)過渡，體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；有效性；數(shù)學(xué)思維

一、初中函數(shù)教學(xué)的重要意義

（一）初中函數(shù)在數(shù)學(xué)課程中的地位

函數(shù)是數(shù)學(xué)最重要的基本概念之一.它揭示了現(xiàn)實世界中數(shù)量之間相互依存變化對應(yīng)的過程，是刻畫和研究客觀世界變化規(guī)律的重要模型.它研究變量，反映一個變化過程，由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)思維上的一次飛躍.

（二）初中函數(shù)的教學(xué)建議

1.立足函數(shù)概念核心，強化概念形成的生成過程

初中階段的函數(shù)概念是從運動變化的觀點引入，緊扣“變量”來描述函數(shù)，主要明確兩層含義：第一，兩個變量是互相聯(lián)系的，一個變量變化時，另一個變量也發(fā)生變化；第二，函數(shù)與自變量之間是單值對應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的.

2.加強研究函數(shù)一般方法的指導(dǎo)

研究函數(shù)概念可以從五方面逐步滲透：① 概念的引入（從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實際問題的需要引入）；② 概念的形成（提供典型豐富的具體例證，概括其本質(zhì)屬性）；③ 概念的明確（準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述概念的內(nèi)涵與外延）；④ 概念的表示（用數(shù)學(xué)符號表示，這是數(shù)學(xué)概念的特色）；⑤ 概念的鞏固和應(yīng)用[以實例（正反例）為載體分析關(guān)鍵詞的含義，應(yīng)用概念作判斷].

因此，在教學(xué)過程中可以進(jìn)行問題導(dǎo)向，用類比的方法研究幾個函數(shù)概念（一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)），同時加強研究方法的引導(dǎo)，對于學(xué)生理解相關(guān)概念可以起到事半功倍的效果.

3.滲透函數(shù)思想，用函數(shù)觀點上串下聯(lián)知識體系

由于函數(shù)具有多樣性的表現(xiàn)和變化性的過程等特點，所以結(jié)合函數(shù)觀點可以開拓研究方程和不等式的思路.這對理解他們的本質(zhì)內(nèi)涵和解決有關(guān)問題都是有益的，還可以使學(xué)生重新組合已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化知識系統(tǒng)從而進(jìn)一步加深對函數(shù)的認(rèn)識.

二、蘇科版八（上）第六章第一課時“函數(shù)（1）”的教學(xué)案例探究

（一）教材分析

在此之前，學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了變量之間的關(guān)系，這個基礎(chǔ)為過渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用.本節(jié)課內(nèi)容主要是進(jìn)一步認(rèn)識常量、變量，理解函數(shù)的概念，是認(rèn)識函數(shù)的開始，為接下來學(xué)習(xí)一次函數(shù)和其他學(xué)科用圖像或者表格等內(nèi)容打好基礎(chǔ).

（二）學(xué)情分析

為了更深刻地認(rèn)識千變?nèi)f化的世界，人們歸納總結(jié)出一個重要的數(shù)學(xué)工具——函數(shù)，用它描述變化中的數(shù)量關(guān)系.函數(shù)在現(xiàn)實生活中應(yīng)用廣泛，學(xué)習(xí)掌握它很有必要.從本節(jié)課開始學(xué)習(xí)內(nèi)容都是綜合運用函數(shù)知識來解決問題，因此，這個學(xué)習(xí)過程有難度.所以筆者認(rèn)為要設(shè)計一些問題進(jìn)行鋪墊，降低難度，引導(dǎo)學(xué)生先易后難逐步深化，讓基礎(chǔ)薄弱一些的學(xué)生也能有所收獲.

（三）“6.1函數(shù)（1）”具體教學(xué)設(shè)計

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與能力

（1）通過簡單實例，了解常量與變量的意義；

（2）通過實例讓學(xué)生多角度認(rèn)識和理解函數(shù)的意義，感受函數(shù)的多種表示形式；

（3）能說出一些函數(shù)的實例，并能判斷兩個變量間的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系.

2.過程與方法

經(jīng)歷具體實例的抽象過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

學(xué)生從現(xiàn)實生活的體驗出發(fā)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的興趣，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的功能與價值，形成主動學(xué)習(xí)的意識.

【教學(xué)重點】函數(shù)概念的建立，判斷兩個變量間的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系.

【教學(xué)難點】函數(shù)概念中常量、變量的理解及其對應(yīng)關(guān)系探索.

【教學(xué)過程】

1.問題情境與思考

情境一：汽車加油視頻

問題1：同學(xué)們，有沒有看過在加油站給汽車加油的過程？請同學(xué)們觀看給汽車加油的視頻.

問題2：這個加油過程中共涉及幾個量？

生：金額、油量、單價.

問題3：給汽車加油的過程中，對于這幾個量，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：單價不變，金額和油量在不斷變化.

引出常量、變量的概念：在一個變化過程中，數(shù)值保持不變的量叫作常量；可以取不同數(shù)值的量叫作變量.

【設(shè)計意圖】從生活實例出發(fā)結(jié)合加油視頻，展現(xiàn)幾個量的變化情況，設(shè)計明確的問題導(dǎo)向引發(fā)學(xué)生的不斷思考，激發(fā)學(xué)生的興趣，加深學(xué)生對這幾個量的認(rèn)識.通過這個問題情境，一方面，引出常量與變量概念，另一方面，有意識滲透“在某一變化過程中”這個建立函數(shù)概念的前提條件，為分析變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系做準(zhǔn)備.

問題4：在給汽車加油的過程中，有哪些變量？

生：金額和油量.

問題5：觀察一下：這兩個變量是如何變化的？

生：單價不變，油量變多，金額也變多了.

問題6：你能用一段話來描述這兩個變量之間的關(guān)系嗎？

總結(jié)出兩個變量之間的關(guān)系：油量在變化、金額也在變化；油量確定時，金額有唯一值與它對應(yīng).

【設(shè)計意圖】通過明確的多個問題引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識和理解加油過程中兩個變量之間的一定關(guān)系.問題4讓學(xué)生認(rèn)識到我們研究的兩個對象是某一變化過程中兩個變量；通過小組討論問題5引導(dǎo)學(xué)生理解兩個變量之間的關(guān)系；問題6引導(dǎo)學(xué)生用自己的話來總結(jié)描述兩個變量之間的關(guān)系，三個問題的環(huán)環(huán)相扣給學(xué)生研究變量間的對應(yīng)關(guān)系有了一個初步的感受和體驗.

情境二：蘇州某日氣溫變化圖

問題1：在蘇州某日氣溫變化圖中，有哪兩個變量？

生：時間和氣溫.endprint

問題2：請描述在氣溫變化過程中，時間和氣溫這兩個變量之間的關(guān)系.

生：時間在變化、氣溫也在變化；時間確定時，氣溫有唯一值與它對應(yīng).

【設(shè)計意圖】通過觀察氣溫變化圖，再一次明確變化過程中的兩個變量，并能仿照加油過程兩個變量的變化過程自己準(zhǔn)確描述天氣變化過程中兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，同時啟發(fā)學(xué)生感受圖像能清晰地刻畫兩個變量之間的關(guān)系，為后續(xù)函數(shù)三種表現(xiàn)形式的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

情境三：觀察水庫的水位變化與水庫蓄水量變化圖

問題1：在水庫蓄水量變化過程中，有哪兩個變量？

生：水位和蓄水量.

問題2：請描述在水庫蓄水量變化過程中，水位和蓄水量這兩個變量之間的關(guān)系.

生：水位在變化、蓄水量也在變化；水位確定時，蓄水量有唯一值與它對應(yīng).

問題3：表格中未出現(xiàn)125 h/m的水位，那它有對應(yīng)的蓄水量嗎？

生：有.

問題4：對應(yīng)的蓄水量唯一嗎？

生：唯一.

【設(shè)計意圖】通過觀察水庫蓄水量變化過程，認(rèn)識蓄水量變化過程中的兩個變量，并描述這一變化過程中兩個變量之間的關(guān)系，理解和感受變化過程中兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，同時引導(dǎo)學(xué)生感受表格清晰地揭示了兩個變量之間的關(guān)系，為后續(xù)函數(shù)三種表現(xiàn)形式的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).顯然，學(xué)生表述的時候越來越整齊，也越來越自信.

情境四：搭小魚的游戲

問題1：在搭小魚的游戲過程中，有哪兩個變量？

生：小魚的條數(shù)和火柴根數(shù).

問題2：請描述在搭小魚的游戲過程中，小魚的條數(shù)和火柴根數(shù)這兩個變量之間的關(guān)系.

生：小魚條數(shù)在變化、火柴根數(shù)也在變化；小魚條數(shù)確定時，火柴根數(shù)有唯一值與它對應(yīng).

【設(shè)計意圖】通過觀察搭小魚的游戲過程，認(rèn)識小魚的條數(shù)和火柴根數(shù)這兩個變量，并描述這一變化過程中兩個變量之間的關(guān)系，理解和感受變化過程中兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，同時引導(dǎo)學(xué)生感受函數(shù)表達(dá)式清晰地刻畫了兩個變量之間的關(guān)系，為后續(xù)函數(shù)三種表現(xiàn)形式的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

2.建立數(shù)學(xué)模型

問題1：對于四個生活情境，你發(fā)現(xiàn)有哪些共同點？

生：在變化過程中都有兩個變量，這兩個變量之間有對應(yīng)的關(guān)系.

問題2：那么同一情境中的兩個變量之間有什么聯(lián)系？

生：一個變量在變化、另一個變量也隨之在變化；當(dāng)一個變量確定時，另一個變量有唯一值與它對應(yīng).

問題3：誰能說一說函數(shù)的概念？

引入函數(shù)概念：如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.

問題4：我們對函數(shù)的概念有了一定的認(rèn)識，誰能說一說在我們的生活中有關(guān)函數(shù)的例子？

生：比如，買香蕉……

【設(shè)計意圖】本節(jié)課基于四個生活情境，筆者通過問題導(dǎo)向引導(dǎo)學(xué)生不斷充分感受和理解一個變化過程中有兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，逐步讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上歸納出函數(shù)的概念.在實際教學(xué)中，學(xué)生的回答往往不準(zhǔn)確甚至錯誤百出，經(jīng)過不斷地糾正，最終能形成最準(zhǔn)確的表述.學(xué)生只有經(jīng)歷了函數(shù)概念的生成過程，有了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和體會，這樣的學(xué)習(xí)才會真正發(fā)生，才能激發(fā)出學(xué)習(xí)的潛力.筆者對于本節(jié)課采用的教學(xué)方法是實例引入、自主探究方式，根據(jù)學(xué)生的理解能力和生理特征，一方面，運用直觀形象的實例引起學(xué)生的興趣，使他們的注意力能始終集中在課堂中，另一方面，筆者通過問題串的形式創(chuàng)造條件和機會，讓學(xué)生小組交流合作，最大限度發(fā)揮學(xué)生的主動性，鍛煉學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.反饋運用

（1）用一根長2 m的鐵絲圍成一個長方形.

① 當(dāng)長方形的寬為0.1 m時，長為多少？

② 當(dāng)長方形的寬為0.2 m時，長為多少？

③ 當(dāng)長方形的寬為a cm時，長為多少？

④ 長方形的長是寬的函數(shù)嗎？為什么？

（2）下表中的y是x的函數(shù)嗎？為什么？

x12345

y±1±2±3±4±5

【設(shè)計意圖】這兩題主要鞏固學(xué)生對函數(shù)概念的理解.對學(xué)生來說判斷兩個量之間是否具有函數(shù)關(guān)系需要把握三點：一個變化過程、兩個變量、一種對應(yīng)關(guān)系.

4.課堂小結(jié)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你的收獲是什么？你的疑惑是什么？

【設(shè)計意圖】在獨立思考和合作交流中引導(dǎo)學(xué)生梳理本節(jié)課在知識和數(shù)學(xué)思想方法方面的收獲，在總結(jié)的同時讓學(xué)生體驗收獲知識的快樂.

5.教學(xué)反思

新課程標(biāo)準(zhǔn)中強調(diào)了概念教學(xué)的形成過程應(yīng)由學(xué)生感悟自主生成，這就必然要求教師在教學(xué)過程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念生成的合理性，在學(xué)習(xí)過程中突出學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生在活動中感悟數(shù)學(xué)思想，不斷積累內(nèi)化數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.筆者選擇的四個問題情境都來源于生活，方便學(xué)生抽象出常量和變量的概念，有的情境以表格形式展現(xiàn)，有的情境以圖像形式展現(xiàn)，有的情境得出表達(dá)式，并且四個情境的整個變化過程中只有兩個變量，通過兩個變量的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生逐步歸納本節(jié)課的重點函數(shù)的概念.整堂課下來筆者設(shè)計的每一個環(huán)節(jié)都體現(xiàn)了突出學(xué)生主體地位的意識，進(jìn)而幫助學(xué)生學(xué)會用函數(shù)的思想認(rèn)識事物運動變化的過程.同時，教師在整個教學(xué)過程中注意問題的導(dǎo)向性，及時糾錯，及時提煉與總結(jié)，在很大程度上發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的思考能力和問題意識.然而，在教學(xué)過程中也有一些設(shè)計得不夠合理的地方，如：

（1）所提到的水位變化過程，情境的創(chuàng)設(shè)不夠直觀，給學(xué)生形象感知函數(shù)的變化關(guān)系增加了難度.

（2）汽車加油情境中對于兩個變量（油量和金額）之間的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生一開始無法表述清楚甚至于準(zhǔn)確，筆者應(yīng)該再增加小組討論的時間，讓每名學(xué)生都有自己的想法并且表達(dá)出來，只有通過不斷的磨合糾正，學(xué)生才能真正理解為什么應(yīng)該這樣表述“油量在變化、金額也在變化；油量確定時，金額有唯一值與它對應(yīng)”，尤其是為什么能想到關(guān)鍵詞“確定”“唯一”，最后慢慢過渡到函數(shù)概念的關(guān)鍵詞“每一個值”“唯一”.

（3）在火柴棒搭小魚的情境中里面滲透已經(jīng)學(xué)過的用字母表示數(shù)的知識點，但是學(xué)生花費的時間偏長.隨后學(xué)生揭示出函數(shù)的概念，筆者要求學(xué)生再舉一些生活中的例子，可以把水波紋的問題插入這個環(huán)節(jié)，加深對概念的理解，使得教學(xué)環(huán)節(jié)更加緊湊豐滿.

（4）在反饋運用環(huán)節(jié)中，第一個練習(xí)學(xué)生能夠通過算式或者函數(shù)表達(dá)式提出了2個變量之間的相互制約關(guān)系，然而對于概念中的“唯一確定”，學(xué)生理解得不徹底.對于練習(xí)2正是為了彌補這個思維漏洞，通過表格的形式讓學(xué)生感知當(dāng)x確定時，y卻有兩個值與它相對應(yīng)，這里和“唯一”有了矛盾，那么此時它是函數(shù)關(guān)系嗎？筆者應(yīng)該在這個問題上停一停，多讓學(xué)生對此問題進(jìn)行分析，從而幫助學(xué)生加深對概念中“唯一確定”的理解.顯然正面引導(dǎo)與反面警示相結(jié)合，必能事半功倍，起到畫龍點睛的作用.

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