“特值探路策略”在課標卷把關題中的應用探析

劉盛

【摘要】“特值探路”是重要的數(shù)學解題策略之一，是“特殊與一般思想”在數(shù)學解題中的應用.“特值探路策略”在解決數(shù)學難題上有重要的作用，可以幫助我們辨明問題的解決方向，進而輕松獲得問題的解決.

【關鍵詞】特值探路；數(shù)學解題；應用探析

以下就它在課標卷把關題中的應用舉例探析，以饗讀者.

例1設函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）<0，則a的取值范圍是（）.

A.-32e，1

B.-32e，34

C.32e，34

D.32e，1

解析本題是選擇把關題，依常規(guī)方法求解極為煩瑣，若運用“特值探路”策略予以求解輕松快捷.

取x=0探路，有f（0）=-1+a<0，由已知“存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）<0”，可以判斷x0=0，故f（-1）≥0且f（1）≥0，解得a≥32e，又a<1，所以32e≤a<1，正確答案為D.

例2數(shù)列{an}滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則{an}的前60項和為.

解析本題是填空把關題，依常規(guī)方法求解同樣極為煩瑣，運用上述“特值探路”策略予以求解簡單快捷.

由an+1+（-1）nan=2n-1，得an+1=2n-1-（-1）nan.

取a1=1探路，有a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a6=10，a7=1，a8=14，….

由于本題是一個具有一般性性質(zhì)的問題，結果為定值，它不會因為首項的變化而變化，所以可以猜想，數(shù)列{an}的奇數(shù)項均為1；偶數(shù)項是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，故S60=30×1+30×2+30×292×4=1 830.

例3已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2.

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x≥-2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.

解析本題是解答把關題，第（Ⅰ）問不難，難在第（Ⅱ）問，難在如何對參數(shù)k分類討論.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）.

依常規(guī)方法，構造函數(shù)F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2，

則F′（x）=2kex（x+2）-2x-4=2（x+2）（kex-1）（x≥-2），

至此需對k分類討論，但許多學生不知應該從何開始討論，如何分類，怎么辦？

其實，若能借助“特值探路”策略，不僅可輕松探明討論方向，而且可大大簡化討論過程.

由題設可知F（x）≥0對一切x≥-2成立，所以可取x=0探路.

由F（0）≥0，即得k-1≥0，所以k≥1.

至此問題就好解決了，令F′（x）=0，得x1=-lnk，x2=-2.

① 若1≤k

所以當x∈（-2，x1）時，F(xiàn)（x）<0，

當x∈（x1，+∞）時，F(xiàn)（x）>0，

即F（x）在（-2，x1）單調(diào)遞減，在（x1，+∞）單調(diào)遞增，

故F（x）在x=x1取最小值F（x1）=2x1+2-x21-4x1-2=-x1（x1+2）≥0，

所以當x≥-2時，F(xiàn)（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

② 若k=e2，則F′（x）=2e2（x+2）（ex-e2），

所以當x≥-2時，F(xiàn)′（x）≥0，

∴F（x）在（-2，+∞）單調(diào)遞增，

而F（-2）=0，∴當x≥-2時，F(xiàn)（x）≥0，

即f（x）≤kg（x）恒成立.

③ 若k>e2，則F（-2）=-2ke-2+2=-2e-2（k-e2）<0，

所以當x≥-2時，f（x）≤kg（x）不可能恒成立.

綜上所述，k的取值范圍為[1，e2].

以下就“特值探路”策略在大綱卷試題中的妙用舉一例說明.

例4已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3x+1.

（Ⅰ）當a=2時，討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）若x∈[2，+∞）時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

解析本題也是解答把關題，第（Ⅰ）問不難，同樣難在第（Ⅱ）問.

對于第（Ⅱ）問，若運用分類討論或變量分離方法予以求解均異常煩瑣，但若運用“特值探路”策略予以求解輕松快捷.

因為f（x）≥0對一切x≥2成立，故可取x=2探路，由f（2）≥0，得15+12a≥0，a≥-54，以下證明當a≥-54時，f（x）≥0對一切x≥2成立.

證明f（x）=x3+3ax2+3x+1，f′（x）=3x2+6ax+3.

因為當a≥-54時，f′（x）≥3x2+6×-54x+3≥3×22+6×-54×2+3=0，

所以f（x）在[2，+∞）上遞增，故f（x）min=f（2）.

又a≥-54時，f（2）≥0，故a≥-54.

相對于其他方法，如此求解輕松快捷，彰顯了“特值探路”策略的巧妙，以及“特殊與一般思想”的神奇魅力！