概率統計課程中的一些教學引入細節

劉宏超+齊祥來

摘 要：概率統計課程的引入問題確實是一個需要重視的大問題，關于這方面的探討并不多，筆者在本文中舉出了很多例子，這些例子的切入角度往往是出人意料的，希望能起到拋磚引玉的效果，進而引起廣大教學同行們的共鳴。

關鍵詞：概率統計；教學；引入；細節

概率統計是高等院校一門重要的公共數學必修課，對于培養學生抽象思維、邏輯推理以及建立數學模型解決實際問題的能力具有重要意義。然而這門課的引入在教學細節上不易處理，存在著學生理解困難的現狀，筆者通過一些實例分析，分享一些教學經驗，希望能起到拋磚引玉的效果，引起廣大同行們的共鳴。

我們都知道，好的開始就是成功的一半，那么這門課該如何引入呢？

常見的教材都是從兩類現象的分析來引入這門課的，即確定性現象和隨機性現象，所謂確定性現象就是在一定條件下必然發生或必然不發生的現象，呈現出來的特點是多因一果，而隨機現象就是在確定的條件下會有多個可能的結果發生的現象，呈現出來的特點是多因多果，而這門課正是以隨機現象為研究對象，隨后是隨機試驗概念的引入，準確說來，這門課研究的是可以用隨機試驗描述的隨機現象。這樣的引入方式很不錯，注重從實際需要出發，換句話說，是人們實踐生產的需要促成了這門課的誕生，所以，作為任課教師，一定要在這一部分舉出足夠多的精彩的實例來吸引學生，其實也不需要刻意地吸引學生，好的例子本身就會唱歌，這方面有很多精彩的實例。

以“蝴蝶效應”為例，這個例子想表達的意思是當一個系統經過了足夠長的時間經歷，那么最初一個小小的條件變動或干擾，最后它所產生的結果可能被放大一個巨大的倍數，這一點甚至可以結合一個催眠學里面的一個案例：一個患有“恐婚癥”的公司白領蘭蘭每天活在焦慮不安失眠中，經過催眠師催眠后，回憶起了四歲時的一個經歷，母親那天把她一個人留在家里出去買菜，買菜回來后進門急著做飯沒有擁抱她，就這樣一個在外人或常人覺得不值得一提的小事在她心中埋下了難以磨滅的創傷，竟然在二十多年后因為安全感的缺失引發“恐婚癥”！正如弗洛伊德學派所相信的，一個人的童年的經歷會對這個人的一生起到決定性的影響，童年的創傷甚至會對一個人的人格產生分裂性的影響，這一點正和“蝴蝶效應”不謀而合。

以生男生女為例，在自然狀況下，一對夫婦生男生女的概率都是二分之一，如果一對夫婦生了兩個孩子，則至少有一個是男孩的概率是四分之三，同樣的算法很容易算出，如果一對夫婦生了三個孩子，則至少一個是男孩的概率是八分之七，這樣一來數據上就會給人一種感覺，生的越多得到男孩的概率就越大，這個時候一定要重點強調，這種感覺只不過是一種錯覺而已，因為概率統計這門課得到的所有的結果只有統計學的意義，對于某個個體而言并沒有什么意義，從統計學的數據角度來看，生三個孩子至少一個是男孩的概率的確是八分之七，但是對于某一對特定的夫婦而言，這個答案八分之七毫無意義，因為他們永遠見不到八分之七，如果他們一胎是女兒，再生第二胎時是男孩的概率還是二分之一，這件事貌似是這門課的一個悖論，這充分說明這門課的計算結果具有的意義主要是統計學上的宏觀意義。

類似的例子比如降水概率，天氣預報說明天的降水概率是百分之六十，這個數據是什么意思？明天空中的云彩里難道有百分之六十的雨要下？顯然不能這樣理解，降水概率是百分之六十的意思是如果這樣預報一百次，那么大概有六十次左右會下雨，這樣一來有助于人們從宏觀上安排生產活動，同樣的，比如醫療系統的數據顯示某種疾病患病率為千分之五，這個數據怎么理解？隨機地挑選一個人，難道我們可以說這個人身上有千分之五的這種疾病？顯然不能這樣理解，對于一個特定個體而言，他或者沒有這種疾病，或者有這種疾病，絕不是身上有千分之五的這種病。患病率為千分之五這句話正確的理解方式是在一千個人當中，患這種疾病的人數大概是五個人，所以，這些例子再次說明，這門課的數據顯示的結果僅僅具有統計學的價值，對于個體而言并沒有什么參考意義。

我們總是希望一門課可以跟前沿結合起來，那么這門課有諸如此類的相關的例子嗎？答案是肯定的，談到隨機現象，一些物理學中的例子必須給學生舉出來，比如分子運動論里面的“布朗運動”，把花粉撒入水中，觀察花粉分子的運動狀況，結果讓人驚詫，在同一時刻，各個花粉分子的運動方向五花八門，而且運動速度也互不相同，呈現出了隨機現象，這就是一個很好的例子。關于物理學中的隨機現象，還可以以“電子云”為例，從原子的模型結構講起，最開始人們以為原子是實心的，后來進步為原子的“行星系模型”，及內層原子核由質子和中子構成，它們占據了原子的幾乎百分之百的質量，外層是電子，那么電子是如何運轉的呢？開始人們認為電子是繞著原子做高速旋轉，但是這種想法很快被人們否定了，如果電子繞著原子核做高速旋轉，那么一定會產生變化的電場，變化的電場又會產生磁場，這樣一來原子就會向外釋放電磁波從而產生原子坍縮或者不穩定，但事實上原子很穩定，近代的量子力學顯示，電子只是隨機地出現在外層某些區域，人們把電子經常出現的區域叫做“電子云”。

當然還有其他的物理學前沿例子，比如“宇宙大爆炸”理論，雖然超出了隨機現象的范疇（因為無法用隨機試驗來描述），但是可以作為一種延伸的隨機現象，從而讓學生明白隨機現象無處不在，甚至宇宙的產生就是一個隨機事件，這個例子無疑會引起學生的深思。

從兩類現象出發，還可以走向形而上學的哲學，世界到底是可知的還是不可知的？人生到底是宿命的還是偶然如浮萍的？大自然究竟是可以預知呢還是混沌一片？這樣的問題顯然可以拔高這門課的理論高度。不要害怕很多問題沒有答案，思考的過程本身就是對思維的一種鍛煉。

總之，這門課的引入問題確實是一個需要重視的大問題，關于這方面的探討并不多，筆者希望通過本文引起廣大同行們的重視，從而促使大家在第一節課的時候就能用最精彩的例子把學生吸引進來，相信有了一個好的開端，同學們學習這門課就不會再有心理的障礙，從而使這門課的教學質量更上一層樓。

作者簡介：

劉宏超，齊祥來，河南省鄭州市，鄭州大學數學與統計學院。endprint