看似匠心 實則矛盾

劉穩殿+韓占中

摘 要：通過對2017年9月百校聯盟數學（文）的一道三角函數求值題進行研究探討，發現本題當中所給的兩個條件互相矛盾，如果已知tanB=ktanA（k≠0），那么cosAsinB的值必須受到k的限制，否則題中的條件就會相互矛盾，導致本題無意義。

關鍵詞：問題題目；tanB=ktanA（k≠0）；cosAsinB的值；限制；矛盾

試卷講評是高三復習的一種重要課型，在講解試卷的時候，認真分析每個題，思考多種解法，進行簡單變形，思考考查的知識點與方法，思考出題的意圖與出題方法……是教師備試卷講評課的基本內容。在高三頻繁的考試中難免遇到“問題題目”，如果對“問題題目”加以剖析，進行加工，那么“問題題目”所呈現出的意義遠大于題目本身的意義。下面探討2017年9月百校聯盟數學（文）選擇題第7題。

原題：已知tanB=2tanA，且cosAsinB=45，則cos（A-B-3π2）=（ ）

A. -45

B. 45

C. -25

D. 25

給出的參考答案如下：

依題意，sinBcosB=2sinAcosA，故sinBcosA=2sinAcosB，故sinAcosB=25，則

cos（A-B-3π2）=-sin（A-B）=-sinAcosB+cosAsinB=25，

故，選D。

單獨看本題的解題思路是毫無破綻的，但是仔細推敲會發現：

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=25+45=65>1與-1≤sin（A+B）≤1矛盾。

問題出在哪？

假設1：設tanB=ktanA（k>0）且cosAsinB=a，則k與a有什么關系呢？

由tanB=ktanA（k>0）得到：sinBcosA=ksinAcosB，故sinAcosB=ak，從而有：

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=a+ak=a（k+1）k （1）

sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=ak-a=a（1-k）k （2）

要使（1）（2）兩式同時有意義，則必須滿足：

-1≤sin（A+B）≤1

-1≤sin（A-B）≤1即-1≤a（k+1）k≤1

-1≤a（1-k）k≤1

當k=1時，得-12≤a≤12

當k≠1時，得：|a|≤kk+1

|a|≤|k1-k|

又因為kk+1<|k1-k|，所以|a|≤kk+1

本題中k=2>0，那么a應該滿足|a|≤kk+1，即|a|≤23，即a∈[-23，23]，而題中給的a=45，顯然45[-23，23]，故本題中給的兩個條件是矛盾的，即條件不能成立。

假設2：設tanB=ktanA（k<0）且cosAsinB=a，則k與a有什么關系呢？

與假設1同理有：

-1≤sin（A+B）≤1

-1≤sin（A-B）≤1即-1≤a（k+1）k≤1

-1≤a（1-k）k≤1

當k=-1時，得-12≤a≤12，

當k≠-1時，得：|a|≤|kk+1|

|a|≤kk-1

又因為|kk+1|>kk-1，所以|a|≤kk-1

結論：設tanB=ktanA（k≠0）且cosAsinB=a，則k與a有如下關系：

當k=±1時，-12≤a≤12；當k>0且k≠1時，|a|≤kk+1；當k<0且k≠-1時，|a|≤kk-1。

通過對該問題的分析，我們不僅得出了k與a的關系，而且體現了分類討論思想，除考查三角函數相關知識外，還考查了不等式解法。我們在講解及編寫習題的時候，要深入分析條件之間的隱含關系，避免題目當中所給條件互相矛盾。

作者簡介：

劉穩殿，韓占中，陜西省安康市，白河高級中學。endprint