與導數相關的幾類問題研究

盧俐君

【摘要】導數是中學乃至大學數學中微積分部分的基礎知識，譬如復變函數、泛函等都是以導數作為基礎。導數在的幾種問題，尤其在單調性、不等式等方面，求解非常方便、簡潔。同時衍生出的拉格朗日乘子法為解決最優化問題提供了幾乎無可取代的作用，不僅拓寬了解題方法，而且加快了解題速度。以導數在極限、不等式和函數三個方面中的應用為例，通過幾個問題總結導數的解題思路與方法。

【關鍵詞】導數 單調性 不等式 拉格朗日乘子法

一、導數與單調性

小結：導數與單調性相關的問題本質都是要轉化為導函數的恒成立問題，這也是導數學習中的重難點。這類問題主要有兩類解題思路：參變分離和分類討論。要注重體會二者的區別和聯系。注意（1）參變分離使用得較為頻繁；（2）優先考慮定義域。

二、導數與不等式

導數與不等式主要包含以下兩類問題：

（1）含參不等式的恒成立問題。

在含參不等式中，如果能夠將參數分離出來，則將另一端看作一個函數，再求這個函數的最值或端點值。若不能夠分離，則先把不等式函數化，再根據函數的定義域并結合函數圖像，求出這個函數在其定義域上的最值或值域。

三、拉格朗日乘數法

四、總結

導數的廣泛應用，為我們解決函數問題提供了有力的工具，用導數可以解決函數中的最值問題，不等式問題，單調性問題。同時，導數在其他領域，如物理學的加速度和曲率半徑等涉及變化率的問題中也發揮了巨大作用。

參考文獻：

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