探究高中數(shù)學(xué)例題解答中導(dǎo)數(shù)的典型性應(yīng)用

朱戰(zhàn)鴻

【摘 要】在高中數(shù)學(xué)的課程改革中，除了保留以往的代數(shù)、解析幾何、立體幾何等內(nèi)容之外，又加入了向量、概率統(tǒng)計(jì)以及微積分的相應(yīng)內(nèi)容。為了使高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更好地掌握微積分，在例題教學(xué)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用必不可少。本文將通過高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，對高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)例題解答的教學(xué)重點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，并結(jié)合實(shí)際例題，對導(dǎo)數(shù)教學(xué)的應(yīng)用方法進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】微積分；極限概念；導(dǎo)函數(shù)；幾何意義

前言

高中學(xué)生所具備的數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)，是其在高中階段學(xué)好數(shù)學(xué)的重要因素。在對高中課堂進(jìn)行觀察中筆者發(fā)現(xiàn)，高中學(xué)生的思維特點(diǎn)主要表現(xiàn)在預(yù)見性、假設(shè)性、內(nèi)省性和差異性等幾個(gè)方面。這些特點(diǎn)對于高中學(xué)生的邏輯思維的深化具有積極的作用。教師利用教學(xué)手段，對高中學(xué)生的思維特征合理運(yùn)用，可以促使高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣得到提升，同時(shí)學(xué)習(xí)效率也會(huì)得到加強(qiáng)。

一、高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和方向

（一）高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容

在高中階段，數(shù)學(xué)教材內(nèi)容所需要學(xué)生掌握的微積分知識(shí)較為初級，因此在導(dǎo)數(shù)教學(xué)中，針對導(dǎo)數(shù)內(nèi)容，教材會(huì)分為幾個(gè)單元部分，系統(tǒng)全面地對導(dǎo)數(shù)的概念和應(yīng)用進(jìn)行介紹。以人教版為例，在教材中，就包含了導(dǎo)數(shù)與變化率、導(dǎo)數(shù)計(jì)算、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用、生活中的優(yōu)化、微積分與定積分的基本概念等幾個(gè)部分。這些內(nèi)容的制定為高中數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)制定了大的規(guī)模框架，并明確了教學(xué)內(nèi)容。例如導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中應(yīng)用這一章節(jié)，教學(xué)內(nèi)容就應(yīng)當(dāng)集中在函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值、函數(shù)最值等方面。

（二）高中數(shù)學(xué)策略方向

針對高中階段的導(dǎo)數(shù)教學(xué)，教師應(yīng)當(dāng)有計(jì)劃地制定教學(xué)策略。在目前的教學(xué)理論研究中，啟發(fā)式教學(xué)的產(chǎn)生式教學(xué)策略效果最為突出，在本文最后的導(dǎo)數(shù)例題應(yīng)用章節(jié)當(dāng)中，教學(xué)實(shí)例所采用的正是產(chǎn)生式教學(xué)方法。這種教學(xué)方法是使學(xué)生自己明確學(xué)習(xí)內(nèi)容和目的，從而根據(jù)內(nèi)容要求，以小組為單位，設(shè)定學(xué)習(xí)目標(biāo)，安排學(xué)習(xí)順序。教師在其中扮演啟發(fā)者的角色，對學(xué)生學(xué)習(xí)中遇到的難點(diǎn)進(jìn)行引導(dǎo)。這種教學(xué)方法下，學(xué)生自主學(xué)習(xí)和自主探究的能力會(huì)大大增強(qiáng)，同時(shí)對導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的理解將更加深刻，為了解決問題，所需掌握的知識(shí)也更加全面。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中導(dǎo)數(shù)教學(xué)存在的問題

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，一般教材會(huì)將這部分內(nèi)容放置在高三或者是選修課當(dāng)中學(xué)習(xí)，這充分說明了高中學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)存在相當(dāng)程度的困難。也正因如此，高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)往往存在一些問題。首先，在教學(xué)過程中，教師通常將教學(xué)重點(diǎn)集中在導(dǎo)數(shù)例題的講解上，而忽略了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解。在這種教學(xué)環(huán)境下，學(xué)生很容易出現(xiàn)概念混淆、含混不清的問題；其次，教學(xué)過程忽視推導(dǎo)生成過程，不注重導(dǎo)數(shù)與微積分關(guān)系的結(jié)合；此外，數(shù)學(xué)思想的形成、導(dǎo)數(shù)知識(shí)的實(shí)用性等與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)密切相關(guān)的在教學(xué)過程中，也被部分教師有意無意的忽視，從而使導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)成為高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)。

三、導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)重點(diǎn)

（一）導(dǎo)數(shù)的平均變化率

在高中數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)中，常常會(huì)遇到例如高臺(tái)跳水、氣球膨脹等實(shí)際問題，這些實(shí)際問題一方面為學(xué)生提供導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)場景便于理解，另一方面，也代表了導(dǎo)數(shù)當(dāng)中平均變化率的特點(diǎn)。以氣球膨脹率的問題為例，在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中，氣球隨著進(jìn)氣量的不斷增加，其膨脹速度則會(huì)不斷下降。這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因涉及到氣球中空氣容量和氣球半徑兩個(gè)變量，并根據(jù)這兩個(gè)變量可以推算出二者之間的關(guān)系，即如公式1所示：

公式1：V（r）=■πr■

其中V為氣球中的空氣質(zhì)量，r為氣球半徑。通過反解則有公式2：

公式2：r（V）=■

通過這兩個(gè)公式可以看出，在數(shù)學(xué)意義當(dāng)中，氣球體積不斷增大，半徑增加量比體積增加量的比值就會(huì)越來越小，而比值則是該氣球的平均膨脹率。高臺(tái)跳水問題與氣球膨脹率問題相似，都是利用f（x）來表示兩個(gè)變量之間存在的函數(shù)關(guān)系，在教學(xué)過程中，教師就可以利用現(xiàn)實(shí)生活常見場景，進(jìn)行函數(shù)圖像表示，使學(xué)生的理解更加直觀。

（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義

在教學(xué)當(dāng)中，教師會(huì)利用多媒體方式對圓的割線變化趨勢進(jìn)行講解，并使學(xué)生對割線的動(dòng)態(tài)變化產(chǎn)生直觀的印象，從而啟發(fā)學(xué)生，獲得切線的定義。在動(dòng)態(tài)變化過程中，圓的割線逐漸變化成為切線的過程，是微積分當(dāng)中“無限逼近”思想方法的一種體現(xiàn)，在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生通過“無限逼近”的方法引領(lǐng)，可以進(jìn)行割線斜率和切線斜率之間關(guān)系的思考，使學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的解題思路，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)對象不同方面的意義。

（三）導(dǎo)函數(shù)

導(dǎo)函數(shù)內(nèi)容在教學(xué)時(shí)，教師會(huì)利用函數(shù)當(dāng)中的集合觀念，使學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)當(dāng)中的函數(shù)變化，在教學(xué)中，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)十分注重計(jì)算性，例如對于瞬時(shí)速度的探究，教師可以利用田徑運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)過程來幫助學(xué)生理解，同時(shí)對整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程所產(chǎn)生的瞬時(shí)變化率，從而探究出完整過程和運(yùn)動(dòng)當(dāng)中的最大當(dāng)量，并將運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)組昂太進(jìn)行刻畫。

四、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)例題當(dāng)中的應(yīng)用

（一）例題中三角函數(shù)求導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)解答應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)例題當(dāng)中，三角函數(shù)求導(dǎo)的題目是十分常見的典型例題。例如，已知y=（1+cos2x）■，求y'。在關(guān)于復(fù)合導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)中，學(xué)生通常存在不熟練的情況，在這個(gè)例題當(dāng)中，2x和x的系數(shù)不一樣是一個(gè)復(fù)合過程，這在解題過程中是重要的已知信息，但是在學(xué)生解題的過程中通常會(huì)被忽略，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤求導(dǎo)y'=-2sin2x（1+cos2x）。而正確的求導(dǎo)方法需要對例題進(jìn)行重點(diǎn)考察，再進(jìn)行正確解答。首先，設(shè)y'=u■，u=1+cos2x，則有y■'=y■'u■'=2u（1+cos2x）'=2u（-sin2x）·（2x）=2u·（-sin2x）·2=-4sin2x（1+cos2x），這樣就求得了正確的求導(dǎo)答案。

（二）例題中函數(shù)極值的導(dǎo)數(shù)解答應(yīng)用

在函數(shù)問題當(dāng)中，函數(shù)極值的題目是具有典型特征的函數(shù)點(diǎn)調(diào)性的考察，從而判斷學(xué)生對于函數(shù)單調(diào)性的理解。在題目中，已知函數(shù)f（x）=x■（x+1），求f（x）的極值。在這一題目的解答中，需要學(xué)生對函數(shù)的單調(diào)性有一定的理解和判斷，并得出f'（x）=2x（x+1）+x■=3x■+2x，此時(shí)，令f'（x）=0，則可以得出結(jié)論：x■=0，同時(shí)x=-■。在這之中，當(dāng)x∈（-∞，-■）時(shí)，則有f'（x）>0，這表明函數(shù)f（x）的單調(diào)性為單調(diào)遞增；而當(dāng)x∈（-■，0）時(shí)，f'（x）<0，這表明此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)性為單調(diào)遞減；當(dāng)，x∈（0，∞），f'（x）>0，此endprint

（下轉(zhuǎn)第5頁）（上接第3頁）

時(shí)函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增。據(jù)此結(jié)論可以得出，當(dāng)x=-■時(shí)，函數(shù)f（x）為極大值，而f（-■）=■；而當(dāng)x=0時(shí)，f（x）為極小值，f（0）=0。

（三）例題中曲線切線的導(dǎo)數(shù)解答應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用在高中數(shù)學(xué)的幾何題目解答當(dāng)中得到充分的運(yùn)用，會(huì)使幾何題目的解答更加簡單便捷，同時(shí)提升數(shù)學(xué)題目的解題效率。在高中數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，設(shè)計(jì)到利用導(dǎo)數(shù)方法解答的幾何題目一般為坐標(biāo)系切線方程，這類題目具有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是在題干當(dāng)中會(huì)給出曲線之外的坐標(biāo)點(diǎn)，學(xué)生根據(jù)所學(xué)的切線知識(shí)，求出這個(gè)曲線的切線方程。目前的解答方法當(dāng)中，利用導(dǎo)數(shù)求解是高中生最常選用的。已知曲線C為y=f（x），切線經(jīng)過點(diǎn)N（x■，y■），求出過點(diǎn)N的切線方程。對于這一題目，學(xué)生在進(jìn)行解答的時(shí)候，就會(huì)用到導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念以及方法，解題思路為首先判斷切線、點(diǎn)N以及曲線C在坐標(biāo)系當(dāng)中的位置關(guān)系，在求出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)f（x）'，最后再進(jìn)行求解。在具體解題過程中，要對點(diǎn)N是否經(jīng)過曲線C做出判斷，并根據(jù)不同情況進(jìn)行導(dǎo)數(shù)方程計(jì)算。當(dāng)N在曲線C之上時(shí)，這時(shí)需要利用導(dǎo)數(shù)方程對切線進(jìn)行表示，即有y-y■=f'（x■）（x-x■），從而求得最終答案。而當(dāng)N點(diǎn)不在曲線C之上，則需要尋求到相應(yīng)的切點(diǎn)（x■，y■），并經(jīng)過y■=f（x■）以及y■-y■=f'（x■）（x■-x■），從而獲得具體的切點(diǎn)（x■，y■）的具體數(shù)值，并根據(jù)這一數(shù)值和N值這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求解出N點(diǎn)經(jīng)過曲線C的方程，其方程的表示為y-y■=f'（x■）（x-x■）。

結(jié)論

在高中數(shù)學(xué)的解題應(yīng)用當(dāng)中，導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)也是解題思路形成的最好方法之一，是提升解題效率的優(yōu)良應(yīng)用。在解題過程中，導(dǎo)數(shù)非但能夠?qū)θ呛瘮?shù)、函數(shù)極值、切線方程進(jìn)行解答，同時(shí)還應(yīng)用于立體幾何、向量以及解析幾何的題目當(dāng)中。教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，可以充分利用導(dǎo)數(shù)的解題優(yōu)勢，在例題講解的過程中對具有典型性的例題進(jìn)行導(dǎo)數(shù)解題的應(yīng)用，幫助學(xué)生形成導(dǎo)數(shù)解題思維。

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