探究高中數學例題解答中導數的典型性應用

朱戰鴻

【摘 要】在高中數學的課程改革中，除了保留以往的代數、解析幾何、立體幾何等內容之外，又加入了向量、概率統計以及微積分的相應內容。為了使高中學生在數學學習中更好地掌握微積分，在例題教學中導數的應用必不可少。本文將通過高中數學教學實踐的經驗，對高中數學導數例題解答的教學重點進行總結，并結合實際例題，對導數教學的應用方法進行分析。

【關鍵詞】微積分；極限概念；導函數；幾何意義

前言

高中學生所具備的數學思維特點，是其在高中階段學好數學的重要因素。在對高中課堂進行觀察中筆者發現，高中學生的思維特點主要表現在預見性、假設性、內省性和差異性等幾個方面。這些特點對于高中學生的邏輯思維的深化具有積極的作用。教師利用教學手段，對高中學生的思維特征合理運用，可以促使高中學生的數學學習興趣得到提升，同時學習效率也會得到加強。

一、高中數學的教學內容和方向

（一）高中數學教學內容

在高中階段，數學教材內容所需要學生掌握的微積分知識較為初級，因此在導數教學中，針對導數內容，教材會分為幾個單元部分，系統全面地對導數的概念和應用進行介紹。以人教版為例，在教材中，就包含了導數與變化率、導數計算、導數在函數研究中的應用、生活中的優化、微積分與定積分的基本概念等幾個部分。這些內容的制定為高中數學的導數教學制定了大的規模框架，并明確了教學內容。例如導數在函數研究中應用這一章節，教學內容就應當集中在函數單調性、函數極值、函數最值等方面。

（二）高中數學策略方向

針對高中階段的導數教學，教師應當有計劃地制定教學策略。在目前的教學理論研究中，啟發式教學的產生式教學策略效果最為突出，在本文最后的導數例題應用章節當中，教學實例所采用的正是產生式教學方法。這種教學方法是使學生自己明確學習內容和目的，從而根據內容要求，以小組為單位，設定學習目標，安排學習順序。教師在其中扮演啟發者的角色，對學生學習中遇到的難點進行引導。這種教學方法下，學生自主學習和自主探究的能力會大大增強，同時對導數學習的理解將更加深刻，為了解決問題，所需掌握的知識也更加全面。

二、高中數學教學中導數教學存在的問題

導數是高中數學中的重點和難點，一般教材會將這部分內容放置在高三或者是選修課當中學習，這充分說明了高中學生對于導數學習存在相當程度的困難。也正因如此，高中導數教學往往存在一些問題。首先，在教學過程中，教師通常將教學重點集中在導數例題的講解上，而忽略了學生對導數概念的理解。在這種教學環境下，學生很容易出現概念混淆、含混不清的問題；其次，教學過程忽視推導生成過程，不注重導數與微積分關系的結合；此外，數學思想的形成、導數知識的實用性等與數學學習密切相關的在教學過程中，也被部分教師有意無意的忽視，從而使導數學習成為高中數學的難點。

三、導數概念的教學重點

（一）導數的平均變化率

在高中數學的導數教學中，常常會遇到例如高臺跳水、氣球膨脹等實際問題，這些實際問題一方面為學生提供導數學習的現實場景便于理解，另一方面，也代表了導數當中平均變化率的特點。以氣球膨脹率的問題為例，在現實生活當中，氣球隨著進氣量的不斷增加，其膨脹速度則會不斷下降。這一現象產生的原因涉及到氣球中空氣容量和氣球半徑兩個變量，并根據這兩個變量可以推算出二者之間的關系，即如公式1所示：

公式1：V（r）=■πr■

其中V為氣球中的空氣質量，r為氣球半徑。通過反解則有公式2：

公式2：r（V）=■

通過這兩個公式可以看出，在數學意義當中，氣球體積不斷增大，半徑增加量比體積增加量的比值就會越來越小，而比值則是該氣球的平均膨脹率。高臺跳水問題與氣球膨脹率問題相似，都是利用f（x）來表示兩個變量之間存在的函數關系，在教學過程中，教師就可以利用現實生活常見場景，進行函數圖像表示，使學生的理解更加直觀。

（二）導數的幾何意義

在教學當中，教師會利用多媒體方式對圓的割線變化趨勢進行講解，并使學生對割線的動態變化產生直觀的印象，從而啟發學生，獲得切線的定義。在動態變化過程中，圓的割線逐漸變化成為切線的過程，是微積分當中“無限逼近”思想方法的一種體現，在學習過程中，學生通過“無限逼近”的方法引領，可以進行割線斜率和切線斜率之間關系的思考，使學生形成數形結合的解題思路，認識到數學對象不同方面的意義。

（三）導函數

導函數內容在教學時，教師會利用函數當中的集合觀念，使學生體會導數當中的函數變化，在教學中，教學內容應當十分注重計算性，例如對于瞬時速度的探究，教師可以利用田徑運動員的運動過程來幫助學生理解，同時對整個運動過程所產生的瞬時變化率，從而探究出完整過程和運動當中的最大當量，并將運動員的運動組昂太進行刻畫。

四、導數在高中數學例題當中的應用

（一）例題中三角函數求導的導數解答應用

在高中數學例題當中，三角函數求導的題目是十分常見的典型例題。例如，已知y=（1+cos2x）■，求y'。在關于復合導數求導中，學生通常存在不熟練的情況，在這個例題當中，2x和x的系數不一樣是一個復合過程，這在解題過程中是重要的已知信息，但是在學生解題的過程中通常會被忽略，從而出現錯誤求導y'=-2sin2x（1+cos2x）。而正確的求導方法需要對例題進行重點考察，再進行正確解答。首先，設y'=u■，u=1+cos2x，則有y■'=y■'u■'=2u（1+cos2x）'=2u（-sin2x）·（2x）=2u·（-sin2x）·2=-4sin2x（1+cos2x），這樣就求得了正確的求導答案。

（二）例題中函數極值的導數解答應用

在函數問題當中，函數極值的題目是具有典型特征的函數點調性的考察，從而判斷學生對于函數單調性的理解。在題目中，已知函數f（x）=x■（x+1），求f（x）的極值。在這一題目的解答中，需要學生對函數的單調性有一定的理解和判斷，并得出f'（x）=2x（x+1）+x■=3x■+2x，此時，令f'（x）=0，則可以得出結論：x■=0，同時x=-■。在這之中，當x∈（-∞，-■）時，則有f'（x）>0，這表明函數f（x）的單調性為單調遞增；而當x∈（-■，0）時，f'（x）<0，這表明此時函數f（x）的單調性為單調遞減；當，x∈（0，∞），f'（x）>0，此endprint

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時函數f（x）為單調遞增。據此結論可以得出，當x=-■時，函數f（x）為極大值，而f（-■）=■；而當x=0時，f（x）為極小值，f（0）=0。

（三）例題中曲線切線的導數解答應用

導數的運用在高中數學的幾何題目解答當中得到充分的運用，會使幾何題目的解答更加簡單便捷，同時提升數學題目的解題效率。在高中數學的課程標準當中，設計到利用導數方法解答的幾何題目一般為坐標系切線方程，這類題目具有一個共同的特點，就是在題干當中會給出曲線之外的坐標點，學生根據所學的切線知識，求出這個曲線的切線方程。目前的解答方法當中，利用導數求解是高中生最常選用的。已知曲線C為y=f（x），切線經過點N（x■，y■），求出過點N的切線方程。對于這一題目，學生在進行解答的時候，就會用到導數的相關概念以及方法，解題思路為首先判斷切線、點N以及曲線C在坐標系當中的位置關系，在求出相應的導數f（x）'，最后再進行求解。在具體解題過程中，要對點N是否經過曲線C做出判斷，并根據不同情況進行導數方程計算。當N在曲線C之上時，這時需要利用導數方程對切線進行表示，即有y-y■=f'（x■）（x-x■），從而求得最終答案。而當N點不在曲線C之上，則需要尋求到相應的切點（x■，y■），并經過y■=f（x■）以及y■-y■=f'（x■）（x■-x■），從而獲得具體的切點（x■，y■）的具體數值，并根據這一數值和N值這兩個點的坐標，求解出N點經過曲線C的方程，其方程的表示為y-y■=f'（x■）（x-x■）。

結論

在高中數學的解題應用當中，導數作為高中數學教學的重點和難點，同時也是解題思路形成的最好方法之一，是提升解題效率的優良應用。在解題過程中，導數非但能夠對三角函數、函數極值、切線方程進行解答，同時還應用于立體幾何、向量以及解析幾何的題目當中。教師在進行教學時，可以充分利用導數的解題優勢，在例題講解的過程中對具有典型性的例題進行導數解題的應用，幫助學生形成導數解題思維。

【參考文獻】

[1]孫金霞.高中數學課本例題和習題變式研究[D].上海師范大學，2015

[2]趙偉婕.高中數學例題解答中導數的典型性應用[J].佳木斯職業學院學報，2015（02）：242-243

[3]王培龍.淺析新課標下高中數學例題設計原則[J].才智，2013（25）：82endprint