淺談線性規劃問題最優解

姬成虎

【摘 要】高中數學知識點多，出題比較靈活，能行之有效的解題方法顯得尤為重要，一線教師可以總結同類題型的解題方法，為學生高考解題節省時間，在有限的競爭時間內贏得寶貴的時間。

【關鍵詞】可行域；最值

本節知識在高考題目中經常以選擇題或填空題出現，雖然難度不大，但解法費時，那么就要求學生在作對的前提下節省時間尤為顯得重要，這樣可以用更多的時間來思考其他題，在有限的時間內超過別人。

一、z=ax+by型最值

例1.（2015·湖南高考）若變量x，y滿足約束條件

x+y≥1

y-x≤1則z=2x-y的最小值。

x≤1

【解析】畫出可行域。平移直線2x-y=0過點（0，1）時，z取得最小值。

例2.（2015·廣東高考）若變量x，y滿足約束條件

x+2y≤2

x+y≥0則z=2x+3y的最大值。

x≤4

【解析】畫出可行域。將直線y=-■x向上平移，易知當經過點（4，-1）時截距最大。

思考：線性規劃問題不難，但解線性規劃問題比較費時，那有沒有更簡捷的方法呢？

答：有，我們發現形如z=ax+by的最值問題其最優解就在有界可行域各頂點處，所以，我們以后碰到類似的題，不再費時的去做可行域，只需解出所有頂點坐標代入目標函數。

比如例1，可以很快的求出三個交點的坐標（0，1）、（1，2）、（1，0），很顯然，（0，1）代入目標函數就是最優解；例2，求出三個頂點的坐標，點（4，-1）代入目標函數就是最優解。

二、y=■型最值

思考：目標函數形如y=■的線性規劃的問題的最優解是不是也在有界可行域頂點處？

例3.（2016·煙臺模擬）在平面直角坐標系xOy中，M

2x-y-2≥0

為不等式組 x+2y-1≥0所表示的區域上一動點，則直線

3x+y-8≤0

OM斜率的最小值。

例4.（2015·全國卷Ⅰ）若x，y滿足約束條件

x-1≥0

x-y≤0求■的最大值。

x+y-4≤0

顯然，目標函數形如y=■的線性規劃的問題的最優解也在有界可行域頂點處。

三、y=（x-a）■+（y-b）■最值型

思考：目標函數形如y=（x-a）■+（y-b）■的線性規劃的問題的最優解解是不是也在有界可行域頂點出呢？

x-y≥-1

例5.實數x，y滿足 x+y≤3則目標函數y=（x+1）■+y■的最大值為_____。 x≥0

y≥0

我們發現目標函數形如y=（x-a）■+（y-b）■的最大值就在有界可行域交點處取得。

思考：目標函數形如y=（x-a）■+（y-b）■的線性規劃的問題的最小值解是不是也在有界可行域頂點處去的呢？

例6.（2016·貴陽模擬）若變量x，y滿足約束條件

x-y+1≤0

y≤1則（x-2）■+y■的最小值。

x≥-1

【解析】作出不等式組對應的平面區域，設z=（x-2）■+y■，則z的幾何意義為區域內的點到定點（2，0）的距離的平方，由 y=1 得 x=0即zmin=（x-2）■+y■=4+1=5

x-y+1=0 y=1 x-2y+4≥0

例7（2016·江蘇卷）。已知實數x，y滿足 2x+y-2≥0

則x■+y■的取值范圍。 3x-y-3≤0

【解析】作出不等式組對應的平面區域，x■+y■表示可行域內的點到原點距離的平方。可以看出圖中原點距離最近，此時距離為原點到直線2x+y-2=0的距離，d=■=■，則（x■+y■）■=■，圖中點（2，3）為x-2y+4=0與3x-y-3=0交點，則B（2，3），則（x■+y■）■=13。

思考：在例6、7中，目標函數最大值解就在有界可行域頂點處取得，例6目標函數最小值解在有界可行域頂點處取得，但例7目標函數最小值解不在有界可行域頂點處取得，有何簡介辦法區分嗎？

探究例6：三個頂點的坐標分別是A（-1，0）、B（-1，1）、C（0，1），定點D（2，0），直線CD到AD的斜率是[-■，0]，不含有與直線AC垂直直線的斜率-1，同理也找不到恒過定點D與直線BC垂直的直線經過有界可行域，所以，目標函數最小值解在有界可行域頂點處取得。

探究例7：三個頂點的坐標分別是A（0，2）、B（1，0）、C（2，3），定點o（0，0），直線OB到OA的斜率是[0，+∞），包含與直線AB垂直直線的斜率■，所以，目標函數最小值解就是頂點o（0，0）到直線AB的距離。

【參考文獻】

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