例談提升高中生數學思維能力之門徑

金花

【摘 要】 讓學生親身經歷數學知識的發生發展過程，不僅有利于揭示數學的本質，完善對數學概念、方法、思想的理解，而且讓學生的自主性、獨立性、能動性和創造性得到真正的體現。本文作者拋磚引玉，值得大家予以適度關注。

【關鍵詞】 思維；發散；靈活；探究；創新

高中數學新課標強調：教師在課堂教學過程中一定要注重揭示獲取知識和運用知識的思維過程，使學生在態度情感、思維能力和價值觀等方面得到協調發展。但是，部分教師沒有真正走出傳統教學模式的誤區，用自身的思維代替學生思維活動，熱衷于高題海戰術，一定程度上影響了學生的學習積極性和創造性。筆者認為，教師在教學的設計和實施過程中，應充分發揮學生的主體作用，密切關注學生數學思維過程。

一、堅持以生為本，激發學生思維的積極性

在數學課堂上，教師面對學生腦海里產生的各種疑慮，應及時捕捉其背后的生成資源，耐心地解釋學生的疑問、探討學生的異見、糾正學生的錯誤，這遠比多講幾個題目效果好。

【教學案例1】已知點F是拋物線y■=2px，（p>0）的焦點，直線AB交拋物線于A，B兩點，試問：弦AB何時最短？最小值是多少？

問題剛剛出示完畢，生1不假思索搶答：當直線AB垂直x軸時，弦AB最短，最小值是2p。師：為什么？生1：我是由橢圓里的結論瞎猜的。師：你的猜想是由橢圓里有關結論類比得出的，所以不算“瞎”猜，學好數學太需要這種直觀思維了！但僅有直觀還不夠，大家一起動手給出嚴謹的數學證明。

看到同學們躍躍欲試的眼神，作為教師不忍心拋出答案。事實證明學生的思維十分積極，思路開闊，解法之多出乎意料。

生2：設A（x■，y■）B（x■，y■），設直線AB方程為：x=ty+p，與拋物線方程y■=2px聯立得，y■=2pty-p■=0，由韋達定理得，AB=y■-y■=■=■=2p■。所以當t=0，即直線AB垂直x軸時，弦AB最短，最小值是2p。

生3：設A（x■，y■）B（x■，y■），當直線AB垂直x軸時，弦AB長為2p。當直線AB不垂直x軸時，設其方程為：y=k（x-■），k≠0，與拋物線方程y■=2px聯立得，k■x■-（k■p+2p）x+■=0，由韋達定理得，AB=x■+x■+p=2p+■>2p，所以當直線AB垂直x軸時，弦AB最短，最小值是2p。

師：以上種解法都非常精彩，你認為哪種解法最簡便，并說說其中的理由。

生4：解法1比解法2簡便，因為解法1對直線AB的設法，不需討論直線斜率是否存在，解法3實質上是解法2的幾何解釋。所以，我認為解法3最簡便。

可見，教師只有放手讓學生積極進行思考，運用所學習和掌握的知識，才能不拘泥、不守舊，勇于打破條條框框的限定，探尋到各種解題方法。即使發現學生錯誤的解題思路，教師也要善于發現其中問題癥結所在，及時糾錯；對學生不成熟的想法，仍然要予以肯定，并加以引導、改進，從而進一步激發學生的探究熱情。

二、問題串發多變，鍛煉學生思維的發散性、靈活性

針對一些典型例題，教師應在課堂上通過變換題目的結論、條件和問題的形式，有的放矢地地引導學生從變化的問題中發現其不變的本質和規律，從而鍛煉了學生的發散思維意識，幫助學生掌握靈活機動地思考解決問題的有效方法，并在無窮的變化中領略數學的魅力，體會學習數學的樂趣。

【教學案例2】已知函數f（x）=x■-■x■+4，g（x）=ax■+4（a>0），對∨x∈[1，2]恒有f（x）>g（x），求實數a的取值范圍。

評注：教師通過耐心的引導，讓學生逐步理解參數與變量分離后轉化為求函數最值問題。

變式1：若 x∈[1，2]恒有f（x）>g（x），求實數a的取值范圍。

評注：變式1的存在性問題與上述恒成立問題都可以采用參變分離法，轉化為函數最值問題，但兩者又有區別，通過變式引領學生識別這一易于混淆之處。

變式2：對∨x■∈[1，2]，∨x■∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立，求實數a的取值范圍。

評注：變換已知條件設計系列問題，問題之間由易到難、拾級而上、層次明顯，目的是培養學生靈活思維，通過轉化統一成函數最值問題。

變式3：請學生在下列空格內填上∨或 符號，編制題目，同桌之間交換解答，對_____x■∈[1，2]，對_____∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立，求實數a的取值范圍。

課堂上對于變式3，學生編制了以下幾種形式的問題并給出相應的解答：①∨x■∈[1，2]， x■∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立；②對 x■∈[1，2]，∨x■∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立；③對 x■∈[1，2]， x■∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立。

評注：變式3與2的計算可以相互借用，避免了大量的重復性操作運算，為教學節約了時間，讓學生編擬題目給其他的同學解答，把課堂氣氛推進高潮，場面十分熱烈，效果比較理想；通過例題和變式的系列問題，使學生充分理解和掌握了不等式恒成立和有解問題的規律，不斷加深了對問題本質的認識，成功虧，拓寬了學生的創新思維空間。

三、引領自主探究，培養學生思維的創新性

當學生產生探索欲望時，教師應及時引導學生去思考、交流，讓學生在自主探究中掌握知識，體會數學思想和方法，形成學生內在的學習動機、批判的思維品質和思考問題的習慣，在自主與創新中形成發展性、創造性的思維品質。endprint