讓學生如數學家般操作思考

鐘燕萍

【前言】

《數學課程標準（2011年版）》提出：“綜合與實踐”的實施是以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動?！熬C合與實踐”的教學，重在實踐、重在綜合，是基于學生已有的知識經驗，經歷自主探索，在觀察、想象、辨別、綜合等多方能力下，感悟基本數學思想，在獲得深刻數學理解的同時，孕育良好的學科情懷。下面以《奇妙的密鋪》為例，談談我對“綜合與實踐”這一教學領域的一些看法。

【案例：課堂實錄】

一、初識密鋪，感知“奇妙”

師：觀察下圖，這些圖形在拼接時有什么特點？

師：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱作平面圖形的鑲嵌。

二、探索密鋪，揭秘“奇妙”

（一）解“密”活動一：探索密鋪一種平面圖形

探究一

下面的平面圖形，把它們分別嘗試密鋪，在能密鋪的平面圖形下面打“√”

探究二

正多邊形的密鋪

探究三

任意三角形、任意四邊形的密鋪（每一種單獨鋪，都是完全一樣的三角形和四邊形）

1. 學生繼續擺拼。

2. 匯報：

生：我們經過驗證：任意三角形、任意四邊形都可以密鋪。

師：你們是怎樣擺的？有什么技巧？老師這有一些任意三角形、四邊形，能到屏幕上拖動擺拼？

請學生到一體機上擺。

師：你們發現什么？

生：任意三角形可以不用擺，因為兩個完全一樣的三角形能拼成一個平行四邊形。剛才已經驗證平行四邊形可以密鋪。

師：你真是活學善用！

生：只要把三角形的各個內角拼在一起，用六個，當中就沒有縫了！

師：為什么要6個？

生：因為剛好密鋪。

生：只要把四邊形各個內角拼在一起，用四個，就可以密鋪了！

師：真的嗎？我們嘗試一下。（屏幕出現內角接合圖）

師：剛才兩位同學太有才了，真可以這樣哦！這說明了在什么情況下能密鋪？

生：有發現了，三角形的內角和是180°，兩個180°就是360°，這樣擺就沒有縫隙，能密鋪了。

生：對！任意四邊形，內角和都是360°，像剛才的正三角形、平行四邊形，等腰梯形，都因為這個原因能密鋪。

師：那正六邊形為什么能密鋪？

生：還是跟角度有關！正六邊形的內角和為：180°×（6-2）=720°，每個角720°÷6=120°，120°×3=360°，所以能密鋪！

師：太精彩！現在你們能用數據去說明了！那能用數據說明正七、八、九、十…邊形不能密鋪嗎？

生：正七邊形：180°×（7-2）÷7≈129°，129不能乘一個整數得到360°，其它的也如此類推。

師：真是個小數學家呀！原來密鋪還有這樣的秘密！你們認為：能密鋪的條件是什么？

生：一周有360°，如果能把這360°鋪嚴，就可以進行密鋪。

師：這真是一個了不起的發現！回到我們之前的猜想，彥夫同學猜：可能跟內角和有關，只要內角和為180的倍數，就能密鋪，這句話對嗎？

生：這是對的！剛才我們已經驗證了內角和180°、360°、540°、720°都可以，它們是180的倍數。

生：不對的！我們驗證的正七、八、九、十…邊形，它們的內角和都是180的倍數，它們是不能密鋪的！

師：看來“理是越辯越明的！”你們今天太出色了，居然通過動手操作、猜想、驗證、推論發現可以密鋪的秘密！能密鋪的條件是什么？

生：把平面圖形鋪在一個平面上圍繞在公共頂點可以鋪成 360°的周角，這樣的圖形就可以密鋪。

師：你說的真周全！請問能密鋪的正多邊形中，最多是幾邊形？

生：正六邊形！

師：（課件：蜂巢圖片） 大自然的能工巧匠、天才數學家、聰明的小蜜蜂就是利用這一原理——用能密鋪的正多邊形中邊數最多的正六邊形來做蜂房，使儲物空間達到最大。

（二）解“密”活動二：探索密鋪兩種平面圖形

探究四

探索從七巧板中任取兩種平面圖形的密鋪情況

1. 驗證：想一想，盡可能使用較少的塊數證明；將作品直接鋪在展示區內。

2. 交流展示：學生對照畫面介紹自己的作品。

3. 總結：同樣的選擇，有不同的鋪法；不同的選擇，共同的結論——課件展示七巧板中任意兩種圖形的十種不同組合密鋪結果：七巧板中任意兩種圖形都能組合成密鋪的作品。七巧板真“巧”??！那么，任意三種、四種圖形的組合也能進行密鋪嗎？歡迎同學們課后進行研究。

三、運用密鋪，創造“奇妙”

1. 了解密鋪歷史與欣賞荷蘭著名版畫藝術家埃舍爾作品。

2. 欣賞絢爛多彩的“密鋪世界”。

3. 創造屬于我們的美。

【思考】

經歷了這么一節孩子們不肯下課的課堂，看著課后還在一直擺弄的孩子，此時孩子們擺拼的愿望寫在他們的臉上，寫在他們的行動上。正所謂：言有盡而意無窮，余言盡在不言中，此時的我們，教者舒心，學者快樂，奇妙的密鋪，帶給孩子意外的驚喜，思考的沖突，以及美的享受；更讓孩子感受數學知識的奧妙，激發學習的濃厚興趣，也讓我對這課堂產生一定的思考：

“綜合與實踐”的實施既然是以問題為載體、以學生自主參與為主，以獲得豐富數學活動經驗的學習活動。這種實踐活動，必須依托合理的活動設計，通過學生自主參與、親身實踐、交流分享、反思總結，逐步將感性認識上升為理性思考。所以教師在進行活動設計時特別的要關注學生能否發現問題、提出問題、分析問題、解決問題這“四能”的培養。endprint

一、創造時機，讓學生發現問題并提出問題

在《奇妙的密鋪》中，我創設情境，讓學生欣賞“密鋪的圖案”時讓學生發現：“這些圖案沒有重疊，中間沒有空隙”；欣賞“生活中的密鋪”時，學生提出：怎樣才能密鋪？能密鋪，必需具備什么條件？問題由學生始，才能激發學生的主體意識。這些由學生提出的問題將是我們探究式學習的起點。培養學生有一雙數學的眼睛，一顆數學的大腦，帶著自己提出的問題學習，學習探索就更投入，更帶勁。

二、圍繞問題，讓學生分析問題和解決問題

問題提出后，圍繞問題，這時的教師應創設活動，層層推進。首先，讓學生有據可依地進行猜想。本案例中，我先讓學生擺拼六種基本平面圖形，然后再讓學生猜測：能密鋪可能跟什么有關？學生借助擺拼的經驗，猜測跟邊有關、跟邊的奇偶性有關、跟角的度數有關……無疑，他們都是有一定根據的，這樣的猜測是孩子們已經運用了在操作過程所得到的經驗，通過思索、不完全的歸納、類比、想象得到的。接著我們以這樣的猜測為驗證目標，為下一步探索提供了方向和思路。故此，我們呼吁：教師應該創設條件，讓學生的猜想以一定的數學事實為根據，再添加自己可貴的想象成分，大膽進行猜想，然后進行小心的求證，培養學生良好的探究習慣。

其次，讓學生一絲不茍地進行探索。在本案例中，我創設條件，讓學生自發提出問題，而后為探討“能密鋪的條件”這問題，展開四次探究?？v觀這些探究活動，可以說學生是投入的，甚至是幸福的，因為是他們自己提出問題并解決了問題！我們的教學不能給予學生探究的錯覺：一探準成。讓學生探究活動要充分，甚至要逐步擺脫直觀思維的依賴，創造條件，讓學生從小就學會像數學家那樣探究思考。

三、鞏固成果，讓學生應用原理激發創作

通常普通的數學課堂，數學知識的應用，總感覺有人為編造的痕跡。但是在“綜合與實踐”中注重的就是數學與生活的聯系，強調的是數學知識在生活的應用。讓學生學有所成地應用創作是綜合與實踐的提升。在本案例中，我兩次播放密鋪在生活中被廣泛應用的實例，除了讓學生感受密鋪的奇妙外，更是讓學生感受這知識在生活中的應用。課后介紹密鋪歷史以及荷蘭版畫藝術家埃舍爾作品，激發孩子們的創作熱情。最后以點睛之筆，一個小小的創作鑲嵌制作過程，讓學生明白：原來鑲嵌藝術離我們并不遙遠，美麗在你我手中……

責任編輯 徐國堅endprint