機翼的形狀與升空受力的關系

林喆陽

摘要：為了更好地理解飛機的飛行原理，研究機翼形狀與升空受力之間的關系，本文設計了一種簡潔的飛行器機翼模型。通過數學建模，結合平面幾何、二分法和工程繪圖等相關知識，確定該機翼的表面形狀，以及利用伯努利原理，估計該機翼的升力系數，以及能夠提供的升力與速度之間的關系。

關鍵詞：伯努利原理 數學建模 機翼形狀 升力系數

一、飛機的飛行原理

《詩經·大雅》中有“鳶飛戾天，魚躍于水”的詩句，表達了古人對飛鳥游魚的羨慕。1903年，美國萊特兄弟發明了飛機，實現了人類飛上天的愿望。一百多年來，無數航空先輩設計了各種飛行器。直至今日，全球每年航班總數以千萬架次計，極大方便了人們的出行。

我曾乘坐飛機旅行，當時特別好奇，飛機為什么能飛上天？在閱讀了大量的科普書籍后，我漸漸了解了飛機的飛行原理。原來，秘密就在飛機的機翼上。雖然各種飛機的機翼形狀不完全一樣，但它們都有一個共同點，就是機翼的上表面有一定向上凸起的弧度，下表面平整。從機翼橫截面來看，上表面長度比下表面長度要長。

1726年，丹尼爾·伯努利提出流體流速越大，壓力越小，這就是著名的“伯努利原理”，也是飛機的飛行原理。如圖1所示，飛機在高速運動中的表面長度更長，氣流流速更大，導致機翼上方的壓力比下面的小，機翼上下壓力差產生了一個升力，飛機便能夠飛起來。

圖1 機翼形狀與伯努利原理示意圖

利用伯努利原理，可將機翼上下任意兩點的壓強差用方程表達為：

P1++ρgh1=P2++

ρgh2 （1）

其中，P1、P2為機翼上下兩點的壓強，v1、v2為該點空氣流速，ρ為氣流密度，g為重力加速度，h1、h2為所在高度。不過，需要注意的是，該方程僅適用于黏度可以忽略不計、不可被壓縮的理想流體。在氣流密度與外界空氣密度相同，且忽略兩計算點的高度差（非常小的值）時，公式（1）可以寫成：

P1+=P2+ （2）

因此，對整個機翼而言，受到的升力為：

L =（P2-P1）S =ρ（-）S

（3）

方程式中，S為機翼平面投影面積。

實際上，飛機的升力還和迎角、飛機構型等因素有關，設計師一般采用經驗公式估計飛機的升力：

L = CLS （4）

其中，CL為升力系數，v為機翼整體與空氣的相對速度。飛機上下表面氣體流速差及飛機構型等變量都包含在升力系數CL中，設計師一般通過風洞實驗得到該數值。

二、機翼的數學建模

在了解了飛行的基本原理后，我們要如何設計機翼形狀呢？在參考了各種飛機的機翼形狀及結構后，我設計的機翼開狀是：翼展為8米，截面寬為2米，下表面是平直的，上表面凸起的形狀可以用一個分段函數來描述，一部分是一段圓弧曲線，而另一部分是指數函數y=e-2x曲線的一部分。為了盡量減小空氣阻力，上表面這兩條曲線必須盡量光滑地銜接起來，同時機翼前緣的夾角設計為45°。我設想的機翼橫截面形狀如圖2所示。那么，我們該如何確定機翼的表面形狀呢？

圖2 機翼的數學建模

由于機翼的截面長為2米，所以函數y=e-2x在x=2處需要作一個截斷，此處y≈0.0183米，相對于總長度而言很薄。由于機翼前緣的夾角設計為45°，即在圖中坐標原點處，圓的切線為y=x，進而我們又可以得出圓心的位置在y=-x這條直線上。現在的關鍵問題是確定圓心的位置，使得圓正好與函數y=e-2x相切，并求出切點的位置。

三、機翼截面形狀的確定

設圓心坐標為（x0，y0），圓與函數y=e-2x切點坐標為（x1，y1）。根據所建模型，可以知道：y0=-x0，y1=e-2x1。圓的定義為：

（x-x0）2+（y-y0）2=r 2 （5）

其中，r為圓的半徑。將上述條件代入，可得到第一個關于x1和x0的方程：

（e-2x1+x0）2+（x1-x0）2=2 （6）

分解可得：

e-2x1+2x0e-2x1+ -2x1x0= 0

（7）

從圓與函數y=e-2x相切可以知道，切點處切線與圓心到切點間的方向是垂直的。切點處切線斜率即為函數y=e-2x在（x1， y1）處的導數，即：

k1=y'=-2e-2x1 （8）

而圓心（x0， y0）到切點（x1， y1）的方向向量所在直線的斜率為：

（9）

由于兩條向量相互垂直，所以它們所在直線斜率乘積為-1。于是，我們可以得到第二個關于x1和x0的方程：

（10）

分解得：

2e-4x1+2x0e-2x1+x0-x1=0 （11）

方程式（7）和方程式（11）是包含有未知數x0，x1的兩個等式。聯立這兩個等式，原則上，我們可以求解出x0和x1的值，進而求出y0和y1的大小。然而，實際上，需要精確計算解析是非常困難的，但我們可以采用“二分法”來求數值解。首先，我們觀察第一個方程可知，如果給定一個x1值，則必定有一個x0值與之相對應。只有同時滿足兩個方程的x1和x0值，才能為這組方程組的解。將方程式（7）和方程式（11）變形，可以得到：

（12）

（13）

由于機翼寬度為2米，x0和x1的取值范圍為0～2，我們可以將公式（12）和（13）的曲線畫在圖中。如圖3所示，我們可以看到這兩條曲線有一個交點，對應于（x0， x1）≈ （0.5663，0.8441），即為近似的共同解。由這個結果可以很快得到：y0≈-0.5663，y1≈0.1849；圓心位置約為（0.5663，-0.5663），圓與函數y=e-2x相切的切點位置約為（0.8441，0.1849）。

圖3 “二分法”求解x0， x1的示意圖

我們可以檢驗一下切點是否在圓上。圓心到坐標原點的距離即為圓的半徑：≈

0.80087（米），切點到圓心的距離為：≈

0.80092（米）。這樣，r和s的誤差就非常小，絕對誤差僅0.05毫米，在誤差允許的范圍內。為了方便后面的計算，我們取圓的半徑為0.801米。至此，機翼的表面形狀被完全確定。

要計算機翼上下兩側的壓力，我們需要知道機翼截面上下兩側弧線的長度。下表面為直線，長度S下=2米。上表面由兩個部分組成，即圓弧部分的S1和指數函數部分的S2，參見圖2。坐標軸原點、圓心、切點構成了一個等腰三角形，而且三條邊都已知，圓弧部分的弧長可根據張角很快計算出來，S1= 0.9126米。指數部分的弧長計算十分復雜，我們可以采用工程繪圖軟件將這部分曲線畫出來，得到S2= 1.1726米。這樣，上表面總長度為S上= S1+S2= 2.0852米。

四、機翼升空受力分析

早期理論認為兩個相鄰的空氣質點同時由機翼的前端往后走，一個流經機翼的上緣，另一個流經機翼的下緣，兩個質點應在機翼的后端會合，也就是機翼上緣空氣和下緣空氣到達機翼后端的時間是相同的。然而，大量的風洞實驗表明：兩個相鄰空氣的質點中，流經機翼上緣的質點會比流經機翼的下緣質點優先到達后緣。空氣質點經上表面從機翼前緣到達后緣的時間約為經下表面所用時間的0.90倍～0.95倍。我們取0.95為預估值，可得機翼上下表面壓力差：

對比經驗公式（4）：L =

CLS，可以知道該機翼的升力系

數約為0.20445。

已知機翼展長為8米，展寬為2米，面積為16平方米，在20℃時，空氣密度ρ≈1.205千克/立方米。據此，我們可以計算升力與速度的關系。例如在不考慮空氣阻力的情況下，當飛行器速度為200米/秒（720千米/小時）時，機翼受到的升力約為7.8836×104牛，重力加速度取9.8牛/千克，則該機翼產生的升力足夠維持重8044千克（約8噸）飛行器的飛行。

參考文獻：

[1]葉菲莫夫A H.飛機的飛行原理[M].北京：北京國防工業出版社，1960.

[2]楊志堅.升力的奧秘[J].農村青少年科學探究，2009，（3）.

[3]丘宏俊.簡明飛機飛行原理[M].西安：西北工業大學出版社，2014.

[4]賈玉紅.探索藍天：航空技術基礎[M].北京：北京航空航天大學出版社，2014.

[5]嚴興光.用二分法求方程的近似解（第一課時）教學設計[J].中小學數學（高中版），2012，（Z1）.

[6]馬丁·西蒙斯.模型飛機空氣動力學[M].北京：航空工業出版社， 2007.

[7]彭克斯特等.風洞實驗技術[M].北京：國防工業出版社，1963.

（作者系北京市第一六一中學高三2班學生）