高中圓錐曲線與方程教學(xué)策略探究

許士清

【摘要】本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，在分析學(xué)生圓錐曲線與方程學(xué)習(xí)中遇到的困惑及其原因的基礎(chǔ)上，提出了微型教學(xué)設(shè)計(jì)、直觀化教學(xué)、完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)等教學(xué)策略.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線與方程；教學(xué)策略

作為高中平面解析幾何的核心內(nèi)容，圓錐曲線與方程知識歷來是高考中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題，并且學(xué)生得分率較低，一做就錯的現(xiàn)象較為突出.究其原因是學(xué)生未能準(zhǔn)確理解圓錐曲線定義的生成，致使對標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單性質(zhì)等常常混淆，對數(shù)形結(jié)合思想未能全面掌握.因此，在這種背景下，探究高中圓錐曲線與方程教學(xué)策略具有重要意義.

一、學(xué)生在圓錐曲線與方程學(xué)習(xí)中遇到的困惑

（一）對圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一性缺乏有效理解

對于橢圓、雙曲線、拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的形式記憶不清，理解過于表面化，對于圓錐曲線的變式題目，未能從定義入手，常常粗心大意，會而不對的現(xiàn)象十分普遍.例如，某一拋物線的焦點(diǎn)在直線x-y+2=0上，對稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).在求這一拋物線方程時，許多學(xué)生只求出了一個標(biāo)準(zhǔn)方程，究其原因是對于拋物線的定義理解不夠全面，未能做到數(shù)形結(jié)合.

（二）對圓錐曲線的簡單性質(zhì)記憶模糊，分辨不清

對于“漸近線”“離心率”等概念不清，無從下手，知識表面化，看不到概念與概念之間的聯(lián)系.例如，已知某一雙曲線漸近線方程為3x±4y=0，則該曲線的離心率是多少？很多學(xué)生對于“漸近線”“離心率”的概念不清，加之“漸近線”“離心率”與標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c之間無法建立有效聯(lián)系，致使學(xué)生面對此題時無從著手.

（三）解答題的正確率較低，缺乏分析題目的能力

查閱歷年高考試卷，學(xué)生對于圓錐曲線的得分率較低，并且常常和壓軸題結(jié)合在一起，究其原因是圓錐曲線的變式題目較多，加之在解題過程中涉及二元一次方程組，許多學(xué)生能夠根據(jù)題意列出方程組，但在解方程組過程中常常出現(xiàn)錯誤，自主學(xué)習(xí)能力和計(jì)算能力不強(qiáng)，致使解題的正確率很低.

二、學(xué)生圓錐曲線與方程學(xué)習(xí)中問題形成原因分析

深入分析圓錐曲線與方程學(xué)習(xí)中存在的問題，既有學(xué)生認(rèn)知方面的原因，又有教師教學(xué)策略的影響，當(dāng)然也有圓錐曲線與方程本身的因素.

一是學(xué)生認(rèn)知方面.絕大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線與方程這章知識時，很難將已學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，例如，如何推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解點(diǎn)的軌跡等知識，未能充分發(fā)揮新舊知識之間的聯(lián)系.同時，不注重定義、圖像、標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識點(diǎn)在做題過程中的重要作用，不注重自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生成，加之拋物線、橢圓、雙曲線在學(xué)習(xí)內(nèi)容上的相似性，致使在做題過程中容易混淆.

二是教師方面.大多數(shù)教師在本章課程講解過程不注重學(xué)生知識的生成過程，不能將本章知識與平面直角坐標(biāo)系中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)思想有效結(jié)合起來，并且一味地側(cè)重于標(biāo)準(zhǔn)方程公式的記憶，致使學(xué)生死記硬背，不能做到融會貫通.同時，部分教師思想觀念落后，僅注重知識的傳遞，而忽略了情感在學(xué)習(xí)過程中的作用，致使學(xué)生學(xué)習(xí)興趣低下，厭學(xué)情緒嚴(yán)重.

三是圓錐曲線與方程內(nèi)容本身的特點(diǎn).相比高中數(shù)學(xué)其他教學(xué)內(nèi)容，本章知識難以理解，例如，“漸近線”“離心率”等概念.加上圓錐曲線與方程的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程較為復(fù)雜，除了移項(xiàng)外，還需平方去根號，這對于計(jì)算能力差的學(xué)生來說，其內(nèi)容本身難以理解.

三、高中圓錐曲線與方程教學(xué)策略

（一）微型教學(xué)設(shè)計(jì)

新課標(biāo)中明確指出，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)倡導(dǎo)合作交流、動手實(shí)踐、自主探索等多種學(xué)習(xí)方式，但在實(shí)施過程中如果安排探究活動較多，則難以在40分鐘的課堂時間內(nèi)有效完成.因此，筆者借鑒微課理念，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)出一個教學(xué)片斷，這個片斷既可以是某個問題的探究，也可以是某個教學(xué)難點(diǎn)的突破，還可以是新知識的導(dǎo)入，在具體教學(xué)過程中，恰當(dāng)?shù)貙?shí)施微型教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生加深對概念的理解，弄清概念的來龍去脈.

例如，在講解“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”時，筆者利用所學(xué)知識——二次函數(shù)圖像為背景，誘導(dǎo)出新概念.

首先，在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問題，筆者根據(jù)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的橢圓和雙曲線等有關(guān)知識，設(shè)計(jì)了以下題目：

從橢圓的定義可知，題目1的軌跡是橢圓，在題目1的提示下，很多學(xué)生得出題目2是雙曲線的一支，但在解決題目3時，從條件分析，既不是拋物線，又不是雙曲線，只能按照常規(guī)思維進(jìn)行化簡，經(jīng)過移項(xiàng)、去根號等步驟后，題目3的方程化簡后變化y=x28，即引入本節(jié)課程主題——拋物線.

其次，剖析問題3的幾何意義，并判斷是否具有一般性結(jié)論.原方程等價于x2+（y-2）2=|y+2|，根據(jù)所學(xué)集合意義，其等式右邊表示點(diǎn)P（x，y）到直線y=-2之間的距離，等式左面表示點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（0，2）之間的距離.

最后，類比推廣，抽象出拋物線的概念.組織學(xué)生描述出拋物線的定義，對其進(jìn)行完善，并應(yīng)用多媒體進(jìn)行動畫演示，進(jìn)一步幫助學(xué)生完善知識結(jié)構(gòu)，深刻領(lǐng)會運(yùn)算化簡求軌跡、根據(jù)定義判斷軌跡等解析幾何的基本思想和方法.

（二）直觀化教學(xué)

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)離不開直觀化教學(xué)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖形計(jì)算器和幾何畫板是常用的畫圖軟件.這些軟件的使用能夠?yàn)楦咧袑W(xué)生“做數(shù)學(xué)”提供良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生在計(jì)算機(jī)的輔助下，利用幾何畫板展示動態(tài)圖形，使原本抽象的概念更加形象.

例如，在組織學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓概念時，筆者應(yīng)用幾何畫板動態(tài)演示橢圓的生成過程，使學(xué)生更好理解.

（1）打開新繪圖，應(yīng)用畫圓工具作一個圓，并將圓心標(biāo)記為A；

（2）在圓上取一點(diǎn)M，在圓內(nèi)取一點(diǎn)B，并連接MA，MB；

（3）選取線段MB的中點(diǎn)，并標(biāo)記為點(diǎn)E，過E作MB的垂線，并與MA交于點(diǎn)P；

（4）選擇點(diǎn)P追蹤點(diǎn)，選擇點(diǎn)M生成點(diǎn)的動畫，最終效果如圖所示.

（三）完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)在學(xué)生頭腦中具體反映，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)完成教學(xué)，注重圓錐曲線的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，使學(xué)生的“學(xué)”與教師的“教”相結(jié)合，加強(qiáng)不同知識之間的聯(lián)系.同時，鼓勵學(xué)生認(rèn)真體會定義的幾何意義，在學(xué)生頭腦中形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系，具體應(yīng)做好以下幾點(diǎn)：一是在教學(xué)中盡量不要一節(jié)課從頭講到尾，要給你學(xué)生充分的思考和總結(jié)時間，對于一些簡單的題目一定要認(rèn)真研究，有效避免會而不對現(xiàn)象；二是教師要督促學(xué)生強(qiáng)化鞏固所學(xué)知識，留置的課后作業(yè)要及時檢查，確保學(xué)生對教材知識在做作業(yè)過程中做一個再認(rèn)識；三是本章知識結(jié)束后，教師應(yīng)幫助學(xué)生建立一個本章知識結(jié)構(gòu)圖，進(jìn)一步深化知識，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感；四是在每次考試后評卷過程中，教師應(yīng)讓學(xué)生知道每道題目考查的知識點(diǎn)，充分鍛煉學(xué)生提取、分析數(shù)學(xué)信息的能力.

總之，在具體教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)采用微型教學(xué)設(shè)計(jì)和直觀化教學(xué)策略，最大限度地幫助學(xué)生完善自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，只有這樣，才能達(dá)到活學(xué)活用的目的，才能使教師的教和學(xué)生的學(xué)實(shí)現(xiàn)事半功倍的效果.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王韡.圓錐曲線與方程教學(xué)反思[J].理科考試研究，2013（1）：13-14.

[2]肖學(xué)勤.新課程下如何實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)中圓錐曲線有效教學(xué)[J].新課程學(xué)習(xí)（下），2014（12）：74.endprint