關于大學課程學習中梯度、散度和旋度的簡單解析

金遠航+何開棘+王開明

摘 要：大學生常常被學習中遇到梯度、散度和旋度的問題困擾，本文針對這幾個問題進行了簡單解析，首先對它們的數學概念、表達方法以及對應的物理含義進行了概括，明確梯度、散度和旋度的區別，然后對學習中遇到的具體問題進行了由表及里地分析、概括和總結，從而加深對這三個問題的理解。

關鍵詞：梯度 散度 旋度 標量函數 矢量函數

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2017）10-0-01

一、梯度、散度和旋度的概念及意義

1.梯度

設體系中某處存在某一物理參數（如溫度、速度、濃度等標量）為w，在與其垂直距離為dy處該參數為W+dW，則稱為該物理參數的梯度 ，也即該物理參數的變化率.如果參數為速度、濃度或溫度，則分別稱為速度梯度、濃度梯度或溫度梯度。在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場，標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的說，從歐氏空間Rn到R的函數的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似.在這個意義上，梯度是雅戈比矩陣的一個特殊情況，在單變量的實值函數的情況下，梯度只是導數，或者，對于一個線性函數，也就是線的斜率。梯度一詞有時用于斜度，也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程度或者說某個物理量的方向導數。

2.散度

散度定義為在矢量場 中的任一點P處，作一個包圍該點的任意閉合曲面，當所限定的區域直徑趨近于0時，其邊界面上的矢量積分和區域體積的比值，即的極限稱為矢量場在點P處的散度，表示為。由散度的定義可知，表示在點P處的單位體積內散發出來的矢量的通量，所以描述了通量源的密度。散度可用表征空間各點矢量場發散的強弱程度，當時 ，表示該點有散發通量的正源，表示通量源向外輻射；當時，表示該點有散發通量的負源，表示通量源向內輻合，當說明是無源。散度的物理意義是：（1）矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性；（2）矢量場的散度是一個標量；（3） 矢量場的散度是空間坐標的函數。

3.旋度

矢量沿某封閉曲線的線積分， 定義為沿該曲線的環量（或旋渦量）， 記為false，然后設想將閉合曲線縮小到其內某一點附近，那么以閉合曲線L為界的面積逐漸縮小，也將逐漸減小，一般說來，這兩者的比值有一極限值，即單位面積平均環流的極限，記作：，它與閉合曲線的形狀無關，但依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向，且通常L的正方向與以閉合曲線為邊界的面積法線方向構成右手螺旋法則，旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某點附近各方向上環流強弱的程度。旋度的物理意義：（1）矢量的旋度是一個矢量， 其大小是矢量在給定點處的最大環量面密度， 其方向就是當面元的取向使環量面密度最大時， 該面元矢量的方向（2）它描述在該點處的旋渦源強度（3）若某區域中各點，稱為無旋場或保守場。

二、梯度、散度和旋度的區別

對于初學這些概念的人來講，對于散度和旋度的理解僅僅限于數學的層面，往往忽略了他們在物理學里的區別。

（1）求梯度是針對一個標量函數，求梯度的結果是得到一個矢量函數；求散度則是針對一個矢量函數，得到的結果是一個標量函數，跟求梯度是相反的；求旋度是針對一個矢量函數，得到的還是一個矢量函數。這三種關系可以從定義式很直觀地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以連續作用兩次。

（2）旋度描述的是矢量場中各點的場量與渦旋源的關系，而散度描述的是矢量場中各點的場量與通量源的關系；

（3）如果矢量場所在的全部空間中，場的旋度處處為零，則這種場中不可能存在旋渦源，因而稱之為無旋場（或保守場）；如果矢量場所在的全部空間中，場的散度處處為零，則這種場中不可能存在通量源，因而稱之為無源場（或管形場）；

（4）在旋度公式中，矢量場的場分量Mx、My、Mz分別只對與其垂直方向的坐標變量求偏導數，所以矢量場的旋度描述的是場分量在與其垂直的方向上的變化規律；

（5）在散度公式中，矢量場的場分量Mx、My、Mz分別只對x、y、z求偏導數，所以矢量場的散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規律。

三、梯度、散度和旋度在物理學中的應用

對于梯度、散度和旋度的深入理解，還要落實在物理學的學習中，常見于電磁場部分。以電場為例，按著它產生的原因分為靜電場和感生電場，靜電場是靜止電荷產生的，而感生電場是變化的磁場產生的。在靜電場中，靜電場既然是靜止電荷產生的，電場線起于正電荷終止于負電荷，電場線有頭有尾，那么它一定是有源的，即它對應的散度不為零，則有，它的源就是激發電場的靜電荷，若，則為正源即場源電荷是正電荷或場源電荷的代數和大于零；若，則為負源即場源電荷是負電荷或場源電荷的代數和小于零，若，則為無源即場源電荷的代數等于零，其的積分形式就是我們非常熟悉的靜電場中的高斯定理（真空中）。然后靜電場中的環路定理，可知靜電場力所做的功與積分路徑無關，故靜電場力為保守力，那么靜電場力的旋度。既然為保守力，那么必有與之相對應的一個標量函數即電勢函數，那么靜電場的電場強度與電勢函數V之間的關系就可以用梯度來表示，即：，表示電場強度為電勢函數的負梯度，說明電場強度的方向一定沿著電勢函數減小最快的方向，所以就有順著電場線的方向電勢越來越低的說法。然而對于感生電場，因為它是變化的磁場產生的，它的電場線為閉合曲線即感生電場為無源場，因此它的散度必為零，即；它對應的環路定理，所以感生電場力為非保守力，其旋度，不存在與之對應的電勢函數。

通過上面簡單分析，對于我們學習中的遇到的梯度、散度和旋度的概念一定會有所幫助，因為事物是普遍聯系的，數學中有物理，物理中包含數學。所以我們在今后的學習中，不能簡單地學習某一學科，把它與其他學科割裂開，在學習中要運用哲學的普遍聯系的觀點辯證地看待我們所學習的知識，才會學的好、學的活、學的精，才能做到學以致用。endprint