貝葉斯公式及其應用

寇子玥

【摘要】本文介紹了貝葉斯公式的產生和發展過程，同時證明了貝葉斯公式。貝葉斯公式可以在一定信息下，對特定條件下事件發生的概率進行推理分析。同時以實例介紹了貝葉斯公式在醫療診斷、訴訟以及工廠產品檢查中的應用。

【關鍵詞】貝葉斯公式 ?條件概率 ?全概率公式

【中圖分類號】O21 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）40-0119-02

一、貝葉斯公式的發展

貝葉斯 （Thomas Bayes），誕生于英國，數學家。他在數學領域鉆研概率論。曾任神甫一職，對上帝的信仰推動他在該領域不斷深入，而發明了概率統計學原理。令人悲傷的是，他的夙愿至死未果。在之后一段時間內，貝葉斯學派的觀點受到其他學派人士的批評、質疑而使人們對貝葉斯公式的研究并不深入。

經過一代代人們的研究，不斷創新、完善，為著名的貝葉斯學派的發展夯實根基。在概率論中，他勇于創新將歸納推理法應用至概率論基礎理論，隨后創立了貝葉斯統計理論，他1758年發表的《機會的學說概論》，影響深遠。

經過漫長的時間，不斷的驗證以及信息技術的飛速發展，在20世紀60年代，貝葉斯統計學脫穎而出，成為國際統計科研究重點。

二、貝葉斯公式及其證明

條件概率和全概率公式是證明貝葉斯公式的基礎。我們將會先介紹條件概率以及全概率公式，進而對貝葉斯公式進行證明。

條件概率，即指在B事件發生的條件下， A事件發生的概率，可以以P（A|B）的形式來表示其中A，B有相交部分。事件A發生的概率就是P（A∩B）除以P（B），即：P（A|B）=■。根據條件概率的定義，可以知道P（A∩B）=P（B） ? ? P（A|B）和P（A∩B）=P（A）P（B|A）。所以有P（A|B）P（B）=P（B|A） ? P（A），即：P（A|B）=■，為全概率公式。

對條件概率式子變形可得P（A|B）=■P（A）。該公式中，我們稱P（A）為“先驗概率”，先驗概率即指在事件B發生以前，對事件A概率的重新評估。P（B|A）/P（B）稱為“可能性函數”，可將之作為調整因子，使得到的預估概率更加準確。

關于全概率公式，先假設有一樣本空間S，是兩個事件A與A'的和，有一事件B分別與A與A'都相交，在這種情況下，事件B將由兩部分構成，一部分與A相交，表示為B∩A，另一部分與A'相交，表示為B∩A'。全概率公式的含義為：若A和A'構成樣本空間的一個劃分（A和A'相互獨立，即A'=A），則B發生的概率，便是A和A'事件發生的概率分別與B對這兩個事件的條件概率相乘再作和，即：

P（B）=P（B∩A）+P（B∩A'）

已經得到P（B∩A）=P（A）P（B|A），所以有P（B）=P（A）P（B|A）+P（A'）P（B|A'）。此為全概率公式，將之帶入條件概率公式，便有：

P（A|B）=■

即得到貝葉斯公式。

三、樸素貝葉斯算法

樸素貝葉斯分類是一種很單純的分類方法，即對于所有的待分類項，選擇在已知條件下，最可能出現的分類，即選擇概率最大的分類。大致階段可分為：準備工作階段、分類器訓練階段、應用階段。

定義如下：

1.設x={a1，a2，…，am}為一個待分類項并且對于一個a，便有一個x的作為對應的特征屬性。

2.有類別集合C={y1，y2，…，yn}。

3.計算P（y1|x），P（y2|x），…P（yn|x）。

4.如果，P（yk|x）=max{P（y1|x），P（y2|x），…，P（yn|x）}則x∈yk。

然后算第三步中的每一個條件概率：

1.以一個已知的分類的所有待分類項集合作為訓練樣本集。

2.則每個特征屬性的條件概率可以表示為：

P（a1|y1），P（a2|y1），…，P（am|y1）;P（a1|y2），P（a2|y2），…，P（am|y2）…;P（a1|yn），P（a2|yn），…，P（am|yn）

3.假設特征屬性是條件獨立的，由貝葉斯定理得P（yi|x）=P（x|yi）P（yi）/P（x）。分母對于所有類別為常數，我們只要將分子最大化。并且由于各個特征屬性之間是條件獨立的，所以有：

P（x|yi）P（yi）=P（a1|yi）P（a2|yi）…P（am|yi）P（yi）。

四、貝葉斯公式的應用

1.貝葉斯公式在醫療診斷上的應用

假設全球的肝癌的發病率為0.0004，可以通過甲胎蛋白法進行檢查。但是，用該方法得到的結果不一定正確。其中得肝癌的人的化驗結果99%呈陽性，即患有肝癌;且未得患肝癌的人其化驗結果99.9%呈陰性，即未得患肝癌。若有一人的甲胎蛋白檢查呈陽性，則他患肝癌的概率是多少？

解：設B為“被檢查的人得肝癌”，A為“甲胎蛋白檢查為陽性”，由題意可得：

P（B）=0.0004，P（B）=0.9996，P（A|B）=0.999，P（A|B）=0.001

我們現在要求出P（B|A），由貝葉斯公式得

P（B|A）=■=0.284

由此可見，檢查結果為陽性的人中，只有28.4%的可能真正患有肝癌。為何如此呢？

假設有10000人作為本次檢驗的樣本，根據肝癌發病率，則只有4人真正患肝癌。在該檢測中，呈陽性的人包括真正的肝癌的人以及誤診者，誤診者計算為P（A|B）P（B）=0.9996×0.001，而使結果為28.4%精度較小。

這樣的檢測精度并不理想，但可以通過復查來進一步提高檢驗的精度，或者先用某種輔助方法初查，排除部分未患肝癌的人，再將余下的人用該方法檢查，用貝葉斯公式可以計算：

假設此時的P（B）=0.284，那么有：

P（B|A）=0.284×0.99/（0.284×0.99+0.716×0.001）=0.997

可以看出檢測的準確率大大的提高了，這也是醫院中為什么會需要進行復查才能大概率確定相應的患病！

2.貝葉斯公式在檢查產品中的應用

在一服裝廠中生產的服裝劣質品率為0.1%，需要用特殊的機器檢驗，但該機器判斷錯誤的可能性為5%，試問服裝廠是否可使用該儀器？

解：其中用A指代“本身為劣質品”，事件B表示“經檢驗判為劣質品的產品”，由題意知：

P（A）=0.001，P（A）=0.999，P（B|A）=0.95，P（B|A）=0.05

由貝葉斯公式可計算“被檢驗出的劣質品中實際劣質品率”為：

P（A|B）=■≈0.0187

同理，經過機器檢驗，判斷為正品的衣服中實際正品率為：

P（A|B）≈0.99995

由此可知，若這種產品的制造價格較高，管理者就最好不要購買使用這種儀器。由以上計算可以看出，這種儀器所判定的劣質品中，其實有98%以上為正品，所以，若用這種儀器，精準度不高而且會有過高的消耗。但同時，該儀器對于正品的判定情況較好，可以通過對被認定為劣質品的產品中重復檢驗而提高該機器的精準度，減少對產品的消耗。

五、結論

通過本次的研究，我對貝葉斯公式的起源、發展、原理、證明、應用等方面有了更加深刻的認識。

隨著經濟、醫學等各個領域飛速發展的今天，作為新時代的公民更應該以理性、具有邏輯的思維看待我們所面臨的問題，通過對貝葉斯公式的應用，我們可以對現有的信息進行考察分析，而綜合判斷事件的因果概率，提高結論的準確性、科學性、可信性，除此之外在機器學習中貝葉斯也極為重要，有助于我們對未來經濟、醫學、自然科學更加合理的認知。

參考文獻：

[1]王梓坤.概率論基礎及其應用[M].科學出版社，1976.