高中數學解題中轉化思想的應用方式

劉佳怡

【摘要】轉化思想方法是數學思想的核心和精髓。在高中數學解題中，確立題中條件與問題或條件與結論邏輯上的必然聯系，實現由已知向未知的轉化，最終達到已知與未知的統一。運用數學的轉化思想，通過對新問題的分析，探究解題思路，從而順利解決問題。本文從轉化思想的內涵及一般方法，來探究轉化思想在高中數學解題中的應用方式。

【關鍵詞】數學解題 ?轉化思想 ?應用方式

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）40-0127-02

引言

轉化思想，就是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程，選擇恰當的方法進行變換，化歸為已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題方法的數學思想。轉化思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際就是轉化的過程。轉化的思想滲透到了數學的各個領域和環節，掌握基本的高中數學解題的轉化思想，可以有效的解決問題，并提高解決問題的能力。

一、轉化思想的內涵

轉化思想是在解決問題的過程中，對問題進行轉化，使之成為簡單熟知問題的基本解題模式，它是一種數學對象在一定條件下轉化為另一種數學對象的思想和方法。也就是說，可以將有待解決的陌生問題通過一次或一連串的轉化，歸結為一個比較熟悉或比較簡單或已經解決的問題，這樣就可以充分調動我們已經掌握的知識，方法和經驗，把未知的問題轉化到在已有知識范圍內可解決的問題，通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范、簡單的問題。

二、轉化思想的應用方式

（一）數形轉化。數與形的轉化就是我們平時所說的數學思想結合。數與形反映事物兩個方面的屬性，在解決數學問題時，將抽象的數學語言同直觀的圖形相結合，實現抽象的概念與具體形象的聯系和轉化，是高中數學中的一條重要原則。如果注重數與形轉化思想的運用，就能使許多問題簡單化。通過圖形，尋找數學關系，進而解題。其中，尋找數學關系最為關鍵，不管什么題，尋找數學關系是解出習題的必要條件。

（二）主次轉化。在一個比較復雜的式子中，可以用新的變元去代替原式中一個部分和改造原來的式子，使問題易于解決。主次轉化可以使原先的問題從高次變為低次，從無理式變為有理式，從超越式變為代數式，可以使問題由繁變簡，由難變易。在方程、不等式、函數、數列、三角中都有廣泛應用。轉化后會使原先分散的條件聯系起來，原先隱含的條件顯露出來，使數學問題變得豁然開朗。應用主次轉化思想的關鍵是在于通過觀察、聯想，選擇適當的輔助未知數，構造出變換關系式。即利用主元與參變量的關系，參變量為主元，即變量與主元的角色換位，常?？梢院喕瘑栴}的解決。

（三）等價轉化。等價轉化要求轉化過程中前因后果是充分必要的，才能保證轉化后的結果仍為原問題的結果。等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性的。在應用等價轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統一的模式去進行?？梢哉f，等價轉化是將恒等變形在代數式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。

舉一個簡單的例子。

設x、y∈R且3x2+2y2=6x，求x2+y2的范圍。

由3x2+2y2=6x得（x-1）2+■=1，即表示橢圓中的一個頂點在坐標原點。x2+y2的范圍就是橢圓上的點到坐標原點的距離的平方?？芍钚≈凳?，距離最大的點是以原點為圓心的圓與橢圓相切的切點。設圓方程為x2+y2=k，代入橢圓中消y得x2-6x+2k=0。由判別式△=36-8k=0得k=4，所以x2+y2的范圍是：0≤x2+y2≤4。

還可以使用三角換元法，即對已知式和待求式都可以進行三角換元：

由3x2+2y2=6x得（x-1）2+■=1，設x-1=cosαy=■sinα，則

x2+y2=1+2cosα+cos2α+■sin2α=1+■+2cosα-■cos2α

=-■cos2α+2cosα+■∈[0，4]

所以x2+y2的范圍是：0≤x2+y2≤4。

本題運用多種方法進行解答，實現了多種角度的轉化，聯系了多個知識點，有助于提高發散思維能力。此題還可以利用均值換元法進行解答。各種方法的運用，分別將代數問題轉化為了其它問題，是等價轉化的良好應用。

結語

轉化思想在數學中的應用非常廣泛，本文通過一些具體的例子，體現了轉化思想在高中數學解題中的應用方式。這些方法相互聯系，相輔相成，并不矛盾。通過數學中的轉化思想，把遇到的新問題，變成我們比較熟悉的問題來處理，或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，或者將難以解決、比較抽象的問題，轉化為直觀的問題，以便準確把握問題的求解過程。正確掌握數學解題中的各種轉化方法來轉化思想，可以提高解題的水平和能力。按照這些原則進行數學操作，轉化過程省時省力，對高中數學的學習有很大的幫助。

參考文獻：

[1]李紅金.高中數學課本中蘊含的化歸轉化思想方法[M].數學教學研究，2015.