利用MATLAB軟件求解一元和二元函數的極值

易強 呂希元

【摘要】本文主要介紹利用MATLAB軟件在電腦上來求解微積分里的一元和二元函數的極值的計算問題。

【關鍵詞】MATLAB ?極值 ?輸入命令

【中圖分類號】O172 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）40-0149-01

在微積分的教材中出現比較多的知識點，包括一元函數的性質和計算其極值、最值等問題，尤其更難的是對二元函數f（x，y）極值的計算，難度相當大，傳統的計算一般是人們在草稿紙上進行演算，費時費力，而且準確度不高，往往容易計算錯誤，由于上述的缺點，本文簡單介紹用MATLAB來求解，利用它可以很方便，快捷的得到準確結果。

一、M函數文件

函數定義的一般格式

function [輸入變量列表]=函數名（輸入變量列表）

注釋說明語句段 ?% 為 help look for 提供在線幫助信息

函數體語句段 ? ?% 函數語句塊

特定規則：

<1> 函數文件第一行必須以單詞 function 作為引導詞，定義一個函數，必須遵循如下形式：

Function <因變量>=<函數名>（<自變量>）

<2> 函數文件的文件名必須是<函數名>. m.

<3> 程序中的變量均為局部變量，不保存在工作空間中，其變量只在函數運行期間有效，函數文件執行完后，將自動被清除。

二、求一元函數的極值

利用 MATLAB 的計算功能，可以很方便求一元函數極值。

例1 求y=■的極值

解：輸入命令：

syms ?x ? ?% 將變量 x 符號化

y=（3*x^2+4*x+4）/（x^2+x+1） ; ? ? % 建立函數關系

dy=diff（y） ; ? ? % 求導數

xz=solve （dy） ? ?% 求函數的駐點：

得結果 ? ?xz=

[0] ? [-2]

由此知道函數有兩個駐點x1=0和x2=-2，考查函數在駐點處二階導數的正負情況：

再輸入命令：

d2y=diff（y，2）;

z1=limit（d2y，x，0）

得結果z1=

-2

輸入命令：

z2=limit（d2y，x，-2）

得結果 z2=

■

于是知在x1=0處二階導數的值為z1=-2，小于0，函數有極大值;在x2=-2處二階導數的值為z2=■ ，大于0，函數有極小值，如果需要，可順便求出極值點的函數值：

輸入命令：y1=limit（y，x，0）

得結果：y1=4

輸入命令：y2=limit（y，x，-2）

得結果：y2=■.

三、求二元函數的極值

利用MATLAB 計算二元函數的極值，主要有以下幾步：

步驟1. 定義多元函數z=f（x，y）.

步驟2. 求解偏導數方程組fx（x，y）=0，fy（x，y）=0，得到駐點。

步驟3. 對于每一個駐點（x0，y0），求出二階偏導數A=■，B=■，C=■.

步驟4. 對于每一個駐點（x0，y0），計算判別式AC-B2，如果AC-B2>0，則該點是極值點，當A>0時為極小值，A<0時為極大值;如果AC-B2=0，判別法失效，需要進一步判斷;如果AC-B2<0，則該駐點不是極值點。

例2.求函數z=x4-8xy+2y2-3極值點和極值。

首先 用 diff 命令求 z 關于 x ，y 的偏導數。

輸入命令：

Clear ;syms . x ?y ;

z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;

diff（z，x）

diff（z，y）

結果為：ans=4*x^3-8*y

ans=-8*x+4*y

再用 solve 命令求解偏導數方程組，求得各駐點的坐標;

輸入命令：

clear;

[x，y]=solve（‘4*x^3-8*y=0，‘-8*x+4*y=0，x，y）

結果有三個駐點，記為P（0，0），Q（2，4），R（-2，-4）.

輸入命令：

Clear ; syms x y ;

Z=x^4-8*x*y+2*y^2-3 ;

A=diff（z，x，2）

B=diff（diff（z，x），y）

C=diff（z，y，2）

結果為：

A=12*x^2

B=-8

C=4

由判別法可知Q（2，4）和R（-2，-4）都是函數的極小值點，而點P（0，0）不是極值點，實際上Q（2，4）和R（-2，-4）是函數的最小值點。

參考文獻：

[1]陳修素. 微積分（下冊）[M] .北京：高等教育出版社，2011.

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[3]孫名符，劉崗《數學學習評價》科學出版社.2008.10.

[4]王永祥.應用經濟數學[M].上海：上海交通大學出版社，2004.