無窮積分的收斂性與無窮遠處的極限

楊遠航

【摘要】無窮積分在物理學和概率統計上具有十分廣泛的應用。無窮積分收斂并不意味著被積函數在無窮遠處的極限為0，本文給出一些保證上述結論成立的充分條件。更進一步，在單調性的條件下可以給出無窮小量階的估計。最后舉例說明了本文的結果可以幫助判斷某些函數的非一致連續性。

【關鍵詞】無窮積分 ?無窮小量的階 ?一致連續

【中圖分類號】O172.2 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）40-0158-02

1.前言

在定積分的研究中，我們在一個有限閉區間[a，b]上研究有界函數f（x），若函數永遠在x軸的上方，我們說■f（x）dx表示的就是函數圖形下的面積。然而實際中有限區間上定積分的應用是非常有限的，通常我們需要考慮無窮積分和瑕積分等反常積分。例如在概率論與數理統計中，指數分布具有如下的概率密度函數

p（x）=λe-λx， x>00， otherwise

由于服從指數分布的隨機變量只能取值于非負實數，從而常常被用來描述各種有關壽命的分布，像燈泡的壽命，動物的壽命，排隊論中的服務時間等。我們比較感興趣的量，比如若某工廠生產的燈泡壽命服從參數為0.01的指數分布，則燈泡的平均壽命為■0.01xe-0.01xdx于是研究無窮積分是非常有必要的。

2.反常積分的收斂性與無窮遠處的極限

當f（x）≥0，a通常為一個非負常數時，由■f（x）dx的幾何意義來看，似乎當x越大時，f（x）的值要很小才能保證無窮積分■f（x）dx的收斂性。然而我們很容易舉出反例：

f（x）=■，x不是正整數1，x是正整數

則無窮積分■f（x）dx收斂，但是f（x）永遠在正整數點處為1，從而不滿足■f（x）=0我們還發現，無窮積分■f（x）dx收斂，加上被積函數的非負性甚至是非負性加連續性都不能保證被積函數f（x）在無窮遠處的極限為0。于是本文討論■f（x）dx收斂與■f（x）=0的關系，并指出在合適的條件下■f（x）dx收斂能夠推出■f（x）=0。

2.1被積函數在無窮遠處極限為0的充分條件

首先給出在被積函數是[a，+∞）上一致連續的時候，此時無窮積分收斂可以得到被積函數在無窮遠處的極限為0。

定理2.1若函數f（x）在[a，+∞）上一致連續，且無窮積分■f（x）dx收斂， 證明■f（x）=0

證明：（反證法）若x→+∞時， f（x）→0。則存在？綴0>0，對？坌A>0，存在x1>A，s.t.|f（x1）|≥？綴0。

又f（x）在[0，+∞）上一致連續，則對■>0，？堝δ>0，當|x'-x''|≤δ時，有|f（x'）-f（x''）|<■，從而當x∈[x1，x1+δ]時，

|f（x）|=|f（x）-f（x1）+f（x1）|>||f（x）|-|f（x）-f（x1）||>■

則必有f（x）與f（x1）同號。于是若f（x1）>0，則f（x）>0，由上式可知f（x）>■，故■f（x）dx≥■δ此式對于f（x1）<0的情況也是成立的。

根據以上結果，存在■δ>0，對任意的A>0，存在x1+δ>x1>A，使得■f（x）dx≥■δ。根據柯西收斂準則■f（x）dx發散。與條件矛盾，從而■f（x）=0

定理2.2設函數f（x）滿足f "（x）存在，且對于任意的A>α，f（x）和f "（x）都是[a，A]上的可積函數。■f（x）dx和■|f "（x）|dx都收斂，證明■f（x）=0

證明：由于■|f "（x）|dx<+∞則對？坌∈>0，？堝M>0，當A1，A2>M時，有■f "（x）dx≤■|f "（x）|dx<？綴于是f '（A2）-f'（A1）<？綴，從而由柯西收斂準則可知■f '（x）存在。

假設■f '（x）=a（a≠0），不妨認為a>0.

則存在N，當x>N時，f '（x）>■>0.

于是f（x）在（N，+∞）上單調遞增，■f '（x）dx≥■（β-N），

即f（β）-f（N）≥■（β-N），兩端令β→+∞可得■f（x）=+∞，這與■f（x）dx收斂矛盾，從而■f '（x）=0

若■f（x）≠0，則存在{xn}和？綴0，使得■xn=+∞，且有f（xn）>？綴0>0或f（xn）<-？綴0<0，不妨認為第一種情況成立。

對任意的？綴>0，？堝K，當x>K時，f '（x）<？綴。

于是，對每個xn，n充分大，使得xn-■>K。取δ<■，在（xn-δ，xn+δ）內存在ξ，使得：

f（x）-f（xn）=f '（ξ）·x-xn<？綴δ

f（x）>f（xn）-εδ>？綴0-？綴δ>0.

故存在（？綴0-？綴δ）δ，對任意的M>K>0，存在xn+δ>xn>M，s.t.■f（x）dx>（？綴0-？綴δ）δ。從而由柯西收斂準則可知■f（x）=0 定理2.3 若f（x）連續可微，無窮積分■f（x）dx和■f '（x）dx都收斂，則■f（x）=0.

定理2.3的證明類似，這里不再贅述。

2.2更進一步的結論：階的估計

定理 2.4 設函數f（x）在[a，+∞）上單調，并且無窮積分■f（x）dx收斂，證明■xf（x）=0，即f（x）=ο（■）（x→+∞）。

證明：不妨設f（x）單調遞減，則我們有f（x）≥0。因為若存在某個x1，s.t.f（x1）<0，則當x>x1時，f（x）

由于■f（x）dx收斂，則對？坌？綴>0，？堝A>α，當A">A'>A時，有■f（x）dx<■.

故對？坌x>2A，，0≤xf（x）≤2■f（t）dt<？綴，從而■xf（x）=0。

定理 2.5設函數f（x）滿足xf（x）在[a，+∞）上單調下降，并且無窮積分■f（x）dx收斂。證明■xf（x）ln（x）=0，即f（x）=ο（■）（x→+∞）.

證明：不妨認為a>0，首先證明xf（x）非負，否則若存在x1≥α，s.t.x1f（x1）<0，則當x≥x1時，xf（x）≤x1f（x1），f（x）≤■，即-f（x）≥-■≥0，則由比較判別法可知■f（x）dx發散，這與條件矛盾，從而xf（x）非負。

由■f（x）dx收斂知，對？坌？綴>0，？堝A>α，當A">A'>A時，有■f（x）dx<■.

于是當x>A2時，0≤■xf（x）ln（x）≤■tf（t）■dt=■f（x）dt<■，從而■xf（x）ln（x）=0。

3.應用

下面討論上述結果在證明函數的一致連續性上的作用，首先給出一致連續性的定義。

定義 3.1 設函數f（x）在區間I上有定義， 若？坌？綴>0，？堝δ>0，當x1，x2∈I且x1-x2<δ時，有f（x1）-f（x2）<？綴則稱f（x）在區間I上一致連續。

例 3.1判斷函數f（x）=cosx2在[1，+∞）是不是一致連續性。

方法一：取xn'=■，xn"=■（n=1，2，…），則有xn'-xn"=■-■=■→0（n→+∞）。

但是cosxn'2-cosxn"2≡1（n=1，2，…），從而f（x）=cosx2在[1，+∞）不是一致連續。

方法二：由于■cosx2dx=■■dt

對于任意的x>1，cost在[1，x]上可積，并且對任意的x>1，■costdt≤2又■在[1，+∞）單調， ■■=0。從而由狄利克雷判別法可知■cosx2dx收斂。而由于f（x）在xn=■（n=1，2，…）處取值恒為1，從而f（x）在正無窮處不可能以0為極限。則由定理2.1可得，f（x）=cosx2在[1，+∞）不是一致連續。

4.總結

本文首先指出無窮積分存在的必要性，接著給出了一些由無窮積分收斂得到被積函數在無窮遠處極限為0的充分條件，然后在單調性下得到更進一步的結果：階的估計。最后舉例說明我們的結果可以用來判斷函數不是一致連續的。

參考文獻：

[1]伍勝健. 數學分析[M]. 北京大學出版社， 2009.

[2]裴禮文. 數學分析中的典型問題與方法[M]. 高等教育出版社，2006.