有心力問題的初步研究

馮晨

【摘要】在學習高中物理選修3-5時，我想對于散射的問題（盧瑟福α粒子實驗）有更深入的了解，于是參考網上資料和大學物理課本開始研究有心力問題。本文在開始時研究了極坐標系下的運動方程，得到了速度與加速度的表達式，同時得到了有心力在極坐標系下的表示形式，由有心力F切向方程和徑向方程可得出比耐公式m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ。

當有心力為萬有引力時，代入比耐公式可得到ρ=■，判斷出質點運動軌跡為圓錐曲線，不同情況下可分為橢圓，雙曲線，拋物線。

當有心力為兩個正電荷電荷間斥力時，代入比耐公式可得到ρ=■，判斷出運動軌跡為雙曲線。

【關鍵詞】極坐標系 ?有心力 ?比耐公式

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）40-0160-02

1.背景介紹

在學習高中物理選修3-5時，我學習了碰撞、反沖等知識，但是課本上有的只是簡單的兩小球相撞后的軌跡的問題和散射問題（盧瑟福α粒子實驗），我想對于散射的問題有更深入的了解，于是參考網上資料和大學物理課本開始研究有心力問題。

2.極坐標系下的運動方程

研究有心力問題需要用到極坐標系的一些知識，可是高中數學中的極坐標系的知識還不足夠解決這一問題，在《大學物理學》這本書里有這部分的知識。

極坐標系是指在平面內由極點，極軸和極徑組成的坐標系。在平面上取定一點O，稱為極點。從極點O出發引一條射線，稱為極軸。φ表示極軸轉過的角度，ρ表示點到極點距離。極坐標下的位矢A可以表示為：

A=Aρeρ+Aφeφ

對于有心力問題，如果把有心力的原點就當作極坐標的極點，那么質點的位置矢量就從極點指向質點位置，位矢就退化為：

ρ=ρeρ

下面我們研究一下極坐標下基矢的求導，利用直角坐標系的基矢來表示極坐標下基矢：

eρ=cosφi+sinφj

eφ=-sinφi+cosφj

對這兩個基矢對時間求導：

■=（-sinφii+cosφjj）φ=φeφ

■=（-cosφii-sinφjj）φ=-φeρ

■=■eρ+ρ■=ρeρ+ρφeφ

由此得到速度：

ρ=ρeρ+ρφeφ

進一步對上式速度求導，可以得到加速度：

ρ=（ρ-ρφ2）eρ+（ρφ+2φρ）eφ

3.有心力問題的研究

3.1 有心力問題

質點在有心力場中的運動是自然界的運動之一。對于有心力問題，本文通過牛頓運動定律來解決。

有了2中的知識，我們就可以求解有心力問題，平面內有質點m，受到來自極點O的有心力作用，有心力形式為：

F（r）=F（r）■

由上文2中推導可知，質點m在運動中的牛頓微分方程是F=mρ=（ρ-ρφ2）eρ+（ρφ+2φρ）eφ

把這個方程分為徑向和切向：

徑向：m（ρ-ρφ2）=Fρ

切向：m（ρφ+2φρ）=Fφ

因為是有心力，F只有徑向分量，切向方程可以變為：

m（ρφ+2φρ）=m■■（ρ2φ）=0

因此，ρ2φ≡h，h為與時間無關的常數。

定義u≡■φ=■=hu2

則可求出ρ=-h■ ?ρ=-h2u2■

從而徑向方程變為m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ，即比耐公式。

3.1.1如果這里的有心力為高中所學的萬有引力，即Fρ=-G■≡-k2■=-k2u2m代入比耐公式得：■+u=■

令ξ=u-■，得■+ξ=0

所以ξ=Acos（φ-φ0） ?u=Acos（φ-φ0）+■得：

ρ=■=■

這就是質點m運動的軌跡。

3.1.2如果這里的有心力為兩個正電荷電荷間斥力，即Fρ=-■■≡k2■=k2u2m代入比耐公式得：■+u=-■

令ξ=u+■，得■+ξ=0

所以ξ=Acos（φ-φ0） ?u=Acos（φ-φ0）-■

ρ=■=■

3.2軌跡分析

對于3.1.1中求得的質點m運動的軌跡，如果轉動極坐標軸使得φ0=0，并令p=■ ?e=A■，則軌跡方程變為ρ=■

這就是極坐標系下的圓錐曲線方程。

所以質點m在萬有引力有心力的作用下形成的軌跡為圓錐曲線，當e小于1時，是橢圓，當e等于1時，是拋物線，當e大于1時，是雙曲線。

對于3.1.2中求得的質點m運動軌跡，如果轉動極坐標軸使得φ0=0，并令p=■ e=-A■，則同樣的軌跡方程變為ρ=■

這個軌跡為雙曲線的一支。

4.總結

本文在開始時研究了極坐標系下的運動方程，得到了速度與加速度的表達式，同時得到了有心力在極坐標系下的表示形式，由有心力F切向方程和徑向方程可得出比耐公式m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ。

當有心力為萬有引力時，代入比耐公式可得到ρ=■，判斷出質點運動軌跡為圓錐曲線，不同情況下可分為橢圓，雙曲線，拋物線。

當有心力為兩個正電荷電荷間斥力時，代入比耐公式可得到ρ=■，判斷出運動軌跡為雙曲線。

參考文獻：

[1]盧德馨.大學物理學[M].北京：高等教育出版社，1998.