極值理論及其在回歸模型中的應(yīng)用

傅昱皓

【摘要】本文介紹了使用極值理論來求函數(shù)極值的兩種方法，并與傳統(tǒng)的求極值的方法進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)極值理論在求解函數(shù)極值中的優(yōu)越性和可靠性。最后結(jié)合極值理論，求解計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的回歸方程的參數(shù)。

【關(guān)鍵詞】極值定理 ?回歸模型

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）42-0122-02

在數(shù)學(xué)分析中，在給定范圍的函數(shù)的最大值和最小值，統(tǒng)稱為極值。而皮誒爾·費(fèi)馬特（Pierre de Fermat）是第一位發(fā)現(xiàn)函數(shù)最大值和最小值的數(shù)學(xué)家之一。那什么是極大值和極小值呢？

如果一個(gè)函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)相鄰定義域內(nèi)處處都有確定的值，而以該點(diǎn)處的值為最大或最小，那么這個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)處的值就是一個(gè)極大值或極小值。如果它比鄰域內(nèi)其他各點(diǎn)處的函數(shù)值都大或小，它就是一個(gè)嚴(yán)格的極大值或極小值。那么該點(diǎn)就相應(yīng)地稱為一個(gè)極值點(diǎn)或嚴(yán)格極值點(diǎn)。那么這樣的極值點(diǎn)到底要怎么求呢？

一、一元函數(shù)求極值

我們首先考慮下簡(jiǎn)單一元函數(shù)，來觀察其極值的求法?？梢灾酪辉瘮?shù)極值的必要條件：設(shè)函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)處可導(dǎo)，并且f（x0）為極值，即x0為極值點(diǎn)，那么有f '（x0）=0。

對(duì)于一元函數(shù)而言，使用反證法，如果假設(shè)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不為0，那么不妨f '（x0）>0。由于導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)極限，也就是說對(duì)于一個(gè)小量ε滿足ε∈（0，f '（x0）），存在一個(gè)小量δ>0，使得對(duì)于x∈（x0-δ，x0+δ）有：

f '（x0）-■<ε

而由于ε∈（0，f '（x0））的條件可以知道■>0。而在這種情況下，可以知道f（x0）不可能是函數(shù)在x0附近的極值點(diǎn)，矛盾！

所以我們可以知道，如果x0為函數(shù)的極值點(diǎn)，那么一定有f '（x0）=0。

回到正常一元函數(shù)求極值的問題，事實(shí)上導(dǎo)數(shù)代表了函數(shù)的單調(diào)情況，所以我們?cè)俜治龊瘮?shù)在極值點(diǎn)邊上的單調(diào)情況就能清楚函數(shù)的極值點(diǎn)到底是什么了。

考慮函數(shù)f（x）=x3-3x的極值情況。

由于函數(shù)在定義域R上可導(dǎo)，所以先求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)及f '（x）=3x2-3。然后對(duì)求得的導(dǎo)函數(shù)因式分解為f '（x）=3（x+1）×（x-1）?？梢缘玫絝 '（x0）=0有兩個(gè)根及x=1或x=-1。

而求得的兩個(gè)根將整個(gè)定義域分為三個(gè)部分：當(dāng)x<-1時(shí)，f '（x）>0，f（x）單調(diào)遞增;當(dāng)-11時(shí)，f '（x）>0，f（x）單調(diào)遞增。

所以可以知道f（-1）是極大值，f（1）是極小值。

用求導(dǎo)的方法來解一元函數(shù)極值問題是極值問題中最簡(jiǎn)單和最基礎(chǔ)的一部分。因?yàn)槲覀兛梢酝ㄟ^求導(dǎo)在一元函數(shù)中的定義來推出導(dǎo)數(shù)在多元函數(shù)中的定義，從而解決多元函數(shù)求解極值的問題。

二、二元函數(shù)求極值

對(duì)于我們二元函數(shù)求極值，我們知道如果函數(shù)是簡(jiǎn)單的二次函數(shù)，比如f（x）=a1x2+a2y2+a3xy+a4x+a5y+a6，這樣的形式的多項(xiàng)式，我們可以采用傳統(tǒng)方法來求解。然后將所有包含x的組合一個(gè)平方數(shù)a1（x+■+■y）2.剩下的只剩下y的二元多項(xiàng)式，然后我們可以計(jì)算出相應(yīng)的極值情況。但是如果是包含多次的函數(shù)的話，就難以通過傳統(tǒng)的方式來進(jìn)行求解。這里可以采用極值理論來進(jìn)行求解：

考慮二元函數(shù)求極值的充分條件：f（x，y）是關(guān)于x和y在f（x）上的函數(shù)。我們?cè)O(shè)z=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）的某個(gè)領(lǐng)域有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（即求其中一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)而保持其他變量恒定）fx'（x0，y0）=fy'（x0，y0）=0，A=fxx'（x0，y0），B=fxy'（x0，y0），C=fyy'（x0，y0），則

（1）當(dāng)AC-B2>0，A>0時(shí)，P0為極小值點(diǎn)

（2）當(dāng)AC-B2>0，A<0時(shí)，P0為極大值點(diǎn)

（3）當(dāng)AC-B2<0，P0不為極值點(diǎn)

（4）當(dāng)AC-B2=0，P0可能是極值點(diǎn)，也可能不是

通過極值理論，我們?nèi)绻僭O(shè)函數(shù)f（x）=■■■■■（aix+biy+ci）2，考慮函數(shù)的最值情況。

第一步，我們先對(duì)這個(gè)函數(shù)的x求導(dǎo)，即fx'（x，y）=■■■■■2ai（aix+biy+ci）和對(duì)y求其導(dǎo)，fy'（x，y）=■■■■■2bi（aix+biy+ci）

第二步，我們計(jì)算函數(shù)fx'（x，y）對(duì)x的偏導(dǎo)即fxx'（x，y）=2ai2以及函數(shù)fy'（x，y）對(duì)y的偏導(dǎo)即fyy'（x，y）=■■■■■2bi2和對(duì)函數(shù)fx'（x，y）對(duì)y的偏導(dǎo)即fxy'（x，y）=■■■■■2aibi。

第三步，我們分別將上述三式fxx'（x0，y0）和fyy'（x0，y0）和fxy'（x0，y0）設(shè)為A，B和C，帶入AC-B2，通過均值不等式，可以知道，AC-B2>0，A>0，那么可以知道fx'（x，y）=■■■■■2ai（aix+biy+ci）=0以及fy'（x，y）=■■■■■2bi（aix+biy+ci）=0所得的解即為所求的極小值。

由此可見，利用偏導(dǎo)的方法來求函數(shù)的極值比傳統(tǒng)方法更簡(jiǎn)單，也更方便易懂。不僅如此，在計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)即一元一次回歸方程中，這種方法同樣可以大放光彩。

三、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

回歸分析是研究一個(gè)所謂的因變量對(duì)另一個(gè)或多個(gè)所謂的解釋變量的依賴關(guān)系的分析方法，其用意在與通過后者的已知或設(shè)定值去估計(jì)前者的均值。而在回歸分析中，比較典型的例子就是貨幣工資變化率與失業(yè)率聯(lián)系起來的菲利普斯曲線。

對(duì)于兩列數(shù){xi，i=1，2，…，n}，{yi，i=1，2，…，n}，如果我們想要探究y和x之間的關(guān)系的話，需要對(duì)這個(gè)的自變量和因變量之間關(guān)系進(jìn)行建模，而在統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中我們常用回歸分析來進(jìn)行建模：Yi=b+aXi+ui。

而在回歸模型中，我們知道需要使得誤差ui最小。如果采用■■■最小化準(zhǔn)則，那么可能出現(xiàn)■i偏離線性方程，而且散布得很遠(yuǎn)，但是■■i的代數(shù)和卻很小。所以在計(jì)算的過程中，我們采用最小二乘準(zhǔn)則。也就是求滿足一元回歸函數(shù)f（a，b）=■■■■■（yi-axi-b）2最小的參數(shù)a和b。

對(duì)于這個(gè)回歸式子，我們采用極值理論的方法：

第一步，先對(duì)a求導(dǎo)，得到fa'（a，b）=■■■■■-2xi（yi-axi-b），再求其二階偏導(dǎo)得到函數(shù)faa'（a，b）=■■■■■2xi2。再用同樣的方法求得對(duì)b的一階偏導(dǎo)fb'（a，b）=■■■■■-2（yi-axi-b）和對(duì)b的二階偏導(dǎo)fbb'（a，b）=■■■■■2。以及對(duì)a的一階偏導(dǎo)的b求偏導(dǎo)fab'（a，b）=■■■2xi

第三步，我們將A，B，C們的公式有：AC-B2=■■■2xi2·■■■2-（■■■2xi）2≥0，并且A=■■■2xi2>0。

（下轉(zhuǎn)第125頁(yè)）

（上接第122頁(yè)）

這樣我們知道所求的函數(shù)f（a，b）的最小值在fa'（a，b）=0并且fb'（a，b）=0的時(shí)候達(dá)到。可以求得：

a=■，b=■，

四、總結(jié)

與其他傳統(tǒng)求最值得方法相比，極值理論的方法顯然優(yōu)越了太多，解決了項(xiàng)數(shù)多、次數(shù)高時(shí)傳統(tǒng)方法繁瑣的計(jì)算與配方。在計(jì)算相應(yīng)的最值問題的時(shí)候，運(yùn)用偏導(dǎo)的方法能夠在運(yùn)算量允許的范圍內(nèi)完美的求解出答案。同時(shí)運(yùn)用極值理論，能夠在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的回歸模型中能夠很輕松地計(jì)算出所需要的模型參數(shù)，極大地簡(jiǎn)化模型的運(yùn)算量，在實(shí)際應(yīng)用中起到了極大的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]伍勝健.北京大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)系列叢書：數(shù)學(xué)分析（第一冊(cè)）[M]. 北京大學(xué)出版社， 2015.

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