閉區間上連續函數的性質及其推廣

2018-01-18 10:03:58張成卓

課程教育研究 2018年42期

張成卓

【摘要】連續函數是一類極其常見的函數類型，其無論在理論研究方面還是實際應用當中都具有很高的價值。閉區間上的連續函數具有很多優良的性質，這些性質往往是開區間上連續函數所不具有的。本文研究總結了閉區間上連續函數的一些性質，并對這些性質進行了簡單的推廣。

【關鍵詞】函數極限 ?連續函數 ?閉區間

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0124-02

1.引言

連續函數是一類常見的函數，例如高中階段學習的函數基本都是連續的。連續函數具有諸多優良的性質，特別是在閉區間上，連續函數具有很多在實際中極其常用的性質。但是，在實際應用中，自變量的取值不一定構成閉區間，故很多學者都對這些性質進行過推廣，如聶錫軍[1]考慮將這些性質推廣到開區間上;郭玉立[2]對這些性質的條件作了一些更改;溫麗萍[3]則進一步考慮了無限區間的情況。但是這些討論都是孤立的，且僅給出了性質成立的新的條件，沒有從比較的角度分析這些性質成立的根源。

本文研究總結了閉區間上連續函數的一些基本性質，并將這些性質推廣到了更一般的區間上。此外，本文對比討論了這些性質所需條件的強弱，給出了對這些定理整體上的理解。

2.連續函數及其基本性質

2.1函數極限與連續函數

我們首先給出函數極限的定義。

定義1 ?設函數f（x）在點x0附近有定義。A是實數，若對任意正實數ε>0，都有δ>0，使得當0

定義1中自變量和函數值均接近一個有限數。事實上，當自變量趨于無窮大或從單邊趨于某個有限值、函數值趨于有限數或無窮大時也可以給出類似的定義。類似數列極限，函數極限也具有唯一性等諸多性質[4]。對函數極限補充定義和基本性質感興趣的讀者可以參考陳紀修等人[5]所著的《數學分析》。

根據定義1，我們可以進一步定義連續函數。

定義2 ?設函數f（x）定義域包含點x0及其附近，且■f（x）=f（x0），則稱函數f（x）在點x0連續，x0為f（x）的連續點。

如果在某個開區間內每個點上函數都連續，則稱函數在這個開區間內連續。此外，類似單側極限，我們還可以定義函數的單側連續，并以此定義函數在閉區間等其他類型區間上的連續性。具體定義可以參考文獻[5]。

接著，我們定義一致連續：

定義3 ?設函數f（x）在區間X上有定義，如果對任意正實數ε>0，都有δ>0，使得對任意X內的x1，x2滿足0

連續性是函數的點態性質，但一致連續則是函數的非點態性質。顯然，一致連續蘊含連續，但反過來不一定成立。

2.2閉區間上連續函數的基本性質

連續函數簇具有諸多優良的性質。在一定條件下，它們對四則運算、求反函數以及復合運算都封閉。此外，若函數定義域是閉區間，則我們還有如下性質：

定理1 （有界性定理） ?設f（x）在閉區間[a，b]上連續，則f（x）在[a，b]上有界。

顯然，定理1中的閉區間必不可少，如f（x）=■，當x在0和1之間時結論就不成立。又如f（x）=tan（x），當x在-■和■之間時結論亦不成立。

第二個性質是最值定理。

定理2（最值定理）閉區間[a，b]上的連續函數f（x）一定能在[a，b]上取得最大（最?。┲?。

最值定理在優化理論的分析證明中極其常用，例如我們可以用最值定理說明最優解的存在性。

此外還有介值定理。

定理3（介值定理）若f（x）在閉區間[a，b]上連續，則其能取到[a，b]上f（x）最大值和最小值之間的任何一個值。

介值定理的一個推論就是零點存在定理。即若f（x）于[a，b]上連續，且f（a）和f（b）異號，則存在ξ∈[a，b]，f（ξ）=0。零點存在定理是高中數學所述二分法求零點的理論基礎。

3.閉區間上連續函數性質的推廣

我們在上一小節中總結的性質在實際應用中十分常見，比如最值定理就可以應用在最優化問題中，為最優解的存在性提供保證。然而在實際中，自變量的取值不一定構成閉區間，因而討論更一般區間上的連續函數的性質是必須的也是必要的。本節嘗試將這些性質拓展到開區間和無限區間上，并討論這些優良性質的本源。

3.1有界性定理的推廣

定理5 ?設f（x）在有限開區間（a，b）上連續，且f（x）在a處的右極限和b處的左極限存在有限，則f（x）在開區間（a，b）上有界。

證明：由于f（a+）和f（b-）有限，不妨設f（a+）=A，f（b-）=B，則由局部有界性，存在δ>0，使得f（x）在（a，a+δ）∪（b-δ，b）上有界。而在[a+δ，b-δ]上，f（x）連續，由定理1，f（x）有界。故f（x）在（a，b）上有界，證畢。

進一步的，若我們將上述定理的區間改成無限區間，則有：

定理6 ?f（x）于區間（a，+∞）上連續，f（x）在a處的右極限存在且為有限數，且■f（x）=A（有限數），則f（x）在區間（a，+∞）上有界。

證明：由于f（a+）有限，不妨設f（a+）=A，則由局部有界性，存在δ>0，使得 f（x）在（a，a+δ）上有界;另一方面，由■f（x）=A可知，存在G，當x>G時， f（x）有界。而在[a+δ，G]上，f（x）連續，由定1，f（x）有界，故f（x）在（a，+∞）上有界，證畢。

從上述推廣中我們可以看出，廣義上說，決定連續函數有界性是否成立的一個關鍵因素是該函數在區間端點處的性態。對于有限區間，只要函數在區間端點的局部是有界的，則在整個區間有界;對于無限區間，只要當自變量在無限遠處時函數是有界的，則函數在整個區間上有界。

若考慮一致連續函數的有界性，我們有下面的定理：

定理7 ?設f（x）于有限開區間（a，b）上一致連續，則f（x）在（a，b）上有界。

證明：首先考慮a。任取一個收斂到a的數列{xn}，不妨設xn∈（a，b），n=1，2，3…，由于f（x）于（a，b）上一致連續，故？坌ε>0，？堝δ>0，對任意x1，x2∈（a，b）滿足x1-x2<δ，有f（x1）-f（x2）<ε，而根據Cauchy收斂原理，{xn}是基本列，故？堝N，使得？坌n，m>N，xn-xm<δ，從而f（xn）-f（xm）<ε。故{f（xn）}是基本列，故收斂。由Heine定理，f（a+）有限。同理可證f（b-）有限。故由定理5，結論立得，證畢。

注意到，定理7中有限開區間不能改成無限區間，如（a，+∞）。反例很多，如：f（x）=x2，x>0

3.2最值定理的推廣

定理8 ?設f（x）在開區間（a，b）（可以為無限區間）上連續，且f（x）在a處的右極限和b處的左極限存在且相等（可以同為無窮大），則f（x）一定能在區間（a，b）上取到最大值或最小值。

證明：我們只證明（a，b）有限的情況，（a，b）為無限區間證明類似。若f（a+）和f（b-）有限，令

f（x）=f（a+） ? x=af（x） ? ?a

則f（x）是[a，b]上的連續函數。若f（x）是常值函數，則顯然f（x）能在（a，b）上取到最大值或最小值。若f（x）不是常值函數，由定理2，f（x）能在[a，b]上取到最大值和最小值，且其中之一不等于f（a+）。故f（x）能在（a，b）上取到最大值或最小值。如果f（a+）=f（b-）=+∞，則固定G>0，？堝δ>0，使得當x∈（a，a+δ）∪（b-δ，b）時，f（x）>G，而在[a+δ，b-δ]上，f（x）連續，故由定理2，f（x）可以在[a+δ，b-δ]上取到最小值。由f（x）在兩點a+δ，b-δ連續可知，該最小值亦是f（x）在（a，b）上的最小值。類似可證f（a+）=f（b-）=-∞時，f（x）在（a，b）上可取到最大值，證畢。

最值定理是否成立不僅取決于函數在區間端點的性態，還與函數在整個區間上的性態有關。對于定理8，如果我們僅要求f（x）在端點處的單側極限存在，那么結論不一定成立。如f（x）=x，x∈（0，1）。

3.3介值定理的推廣

定理9 ?設f（x）在有限開區間（a，b）上連續，f（a+）

證明：若f（a+）和f（b-）有限，令：

f（x）=f（a+） ? x=af（x） ? ?a

則f（x）是[a，b]上的連續函數。則由定理3，？坌ρ∈（f（a+），f（b-）），？堝γ∈[a，b]，f（r）=ρ。但顯然γ≠a，γ≠b，故f（x）可以取到（f（a+），f（b-））內的任意值。若f（a+）=-∞，f（b-）有限，則令

f（x）=f（x） ? a

則f（x）是（a，b]上的連續函數。？坌ρ∈（-∞，f（b-）），？堝δ>0，當x

定理9可以進一步放寬條件，把有限開區間換成無限區間結論也是成立的。從推廣中可以看出，介值定理與函數在區間端點處的性態關系不大，但與中間值的取法有很大關系。

4.結語

本文研究總結了閉區間上連續函數的一些基本性質，并將這些性質推廣到了更一般的區間上。此外，本文對比討論了這些性質所需條件的強弱，分析了這些性質成立的條件，給出了對這些定理整體上的理解和把握，具有一定的理論意義。

參考文獻：