常見離散型隨機變量的原點矩探討

阮哲釗

【摘要】本文首先介紹了幾種常見的離散型隨機變量的概念，并給出了他們的概率分布;隨后本文主要介紹了原點矩的概念，并推導了這幾種離散型隨機變量的高階原點矩。

【關鍵詞】伯努利分布 ?二項分布 ?超幾何分布 ?原點矩

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0127-02

一、常見離散型隨機變量及原點矩概念

本小節(jié)主要介紹一般離散型隨機變量的概念及原點矩的概念。

（一）常見離散型隨機變量

1.伯努利分布

假設在一次伯努利試驗中，事件A發(fā)生的概率為p， 不發(fā)生的概率為q=1-p， 定義隨機變量X1為：

X1=1，事件A發(fā)生0，事件A不發(fā)生

我們稱X1服從伯努利分布，記為X1～B（1，p）.伯努利的概率分布為P（X1=k）=pkq1-k，k=0，1。

2.二項分布

二項分布是伯努利分布的推廣，在n次伯努利試驗中，我們定義隨機變量X2為事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機變量X2服從二項分布，記作X2～B（n，p）。

隨機變量X2的概率分布為P（X2=k）=C■■pk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n

3.超幾何分布

假定在N件產品中有M件次品，其余產品為正品，在N件產品中隨機抽取n件產品，記X3為次品件數(shù)，則稱隨機變量X3服從超幾何分布，記作X3～H（N，n，M）。

超幾何分布的概率分布：

P（X3=k）=■

其中，k∈{0，1，2，…，mim{n，M}}

（二）原點矩

數(shù)學期望、方差和相關系數(shù)是隨機變量最常用的數(shù)字特征，他們都是某種矩。矩是最廣泛的一種數(shù)字特征，在概率和數(shù)理統(tǒng)計中占有重要地位。最常用的矩有兩種：一種是原點矩，一種是中心矩。

定義1 ?對整數(shù)s， 稱ms=E（Xs）為隨機變量X的s階原點矩。其實數(shù)學期望是一階原點矩。

二、幾種離散型隨機變量原點矩推導

對于原點矩的計算，隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望公式是至關重要的，首先我們給出一個關于離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望公式。

定理1 （佚名統(tǒng)計學公式） 若函數(shù)f（x）是一元連續(xù)函數(shù)，若離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，x3，…，對應的概率分別為p1，p2，p3，…，那么新的隨機變量Y=f（X）的數(shù)學期望為E（Y）=■f（xi）pi。

（一）伯努利分布的原點矩

根據(jù)佚名統(tǒng)計學公式，我們可以給出伯努利分布的任意階原點矩E（X■■）=■ksP（X1=k）=■kspkq1-k=p。

（二）二項分布的原點矩

二項分布的高階原點矩計算比較復雜，這里只討論二項分布的一階原點矩和二階原點矩。

二項分布的一階原點矩為E（X2）=■kP（X2=k）=■kC■■pk（1-p）n-k=np■■pk（1-p）n-1-k=np■C■■pk（1-p）n-1-k=np（p+1-p）n-1=np。

二項分布的二階原點矩推導如下：

E（X■■）=■k2P（X2=k）=■k2C■■pk（1-p）n-k=■[k+k（k-1）]■pk（1-p）n-k=■k■pk（1-p）n-k+■k（k-1）■pk（1-p）n-k=np+■■pk（1-p）n-k

=np+n（n-1）p2■■pk-2（1-p）n-k=np+n（n-1）p2■C■■pk-2（1-p）n-k=np+n（n-1）p2■C■■pk（1-p）n-2-k=np+n（n-1）p2（p+1-p）n-2=np+n（n-1）p2

因此，隨機變量X2的一階原點矩為E（X2）=np，二階原點矩為E（X■■）=np+n（n-1）p2。

（二）超幾何分布的原點矩

傳統(tǒng)定義方法計算超幾何分布的原點矩比較繁瑣，為此我們引入如下引理來計算超幾何分布的原點矩。

引理1 設隨機變量ξi（i=1，2，…，n）的分布為：

ξi=1，事件Ai發(fā)生0，事件A不發(fā)生

定義隨機變量ξ=■■■ξi， 則隨機變量ξ的原點矩可由如下公式給出：

E（ξ）=E■ξi=■E（ξi），

E（ξ2）=E■ξi2=E■ξ■■+■ξiξj=■E（ξ■■）+■E（ξiξj）

隨機變量X3～H（N，n，M），設對應的事件Ai為第i次取到次品，則

P（A1）=■，P（A2）=■■=■

P（An）=■■…■=■

因此，我們有P（Ai）=■（i=1，2，…，n），故由引理1可得X3的原點矩為：

E（X3）=■E（ξi）=■P（Ai）=■

為計算E（X■■）， 我們首先要計算E（ξiξj）（i≠j）：

E（ξiξj）=P（ξiξj=1）=P（AiAj）=P（Ai）P（Aj|Ai）=■■

由引理1我們有

E（X■■）=■E（ξ■■）+■E（ξiξj）=■P（ξ■■=1）+（n2-n）■■=n■+（n2-n）■■

結束語

原點矩的概念是隨機變量非常重要的數(shù)字特征，它對于數(shù)學期望和方差的計算是非常重要的。傳統(tǒng)的定義方法計算原點矩是比較復雜的，在本文中，二項分布的原點矩是用傳統(tǒng)的定義方法計算給出的，整個計算比較復雜，而超幾何分布的原點矩是通過將該隨機變量拆分為多個隨機變量的和計算得到的，這樣使計算大大簡便。

參考文獻：

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