變限的函數及其導數教學方式研究

呂希元

【摘要】探討一元函數變限積分函數及其導數的教學方式，針對變限函數適用題型多，但計算繁瑣，易出錯的特點，舉例并歸類說明不同類型題目如何正確用積分函數求解。

【關鍵詞】導數 ?積分 ?極限

【中圖分類號】O1 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0130-01

一、積分上限函數介紹

定理：若f（x）在區間[a，b]上連續，則積分上限的函數Φ（x）=■f（t）dt，就是f（x）在[a，b]上的一個原函數，即：Φ'（x）=■■f（t）dt=f（x），x∈[a，b]。

證：記Φ（x+Δx）=■f（t）dt，得：

ΔΦ（x）=Φ（x+Δx）-Φ（x）=■f（t）dt-■f（t）dt

=■f（t）dt+■f（t）dt-■f（t）dt=■f（t）dt

由積分中值定理得：ΔΦ（x）=f（ξ）·Δx，ξ∈（x，x+Δx），從而Φ'（x）=■■=■f（ξ）=f（x）。

推論1：設f（x）在[a，b]上連續，φ（x）在[a，b]上可導，且a≤φ（x）≤b，x∈[a，b]，則：■■f（t）dt=f[φ（x）]·φ'（x）。

推論2：設f（x）在[a，b]上連續，，φ（x）、，ψ（x）在[a，b]上可導，且a≤φ（x），ψ（x）≤b，x∈[a，b]，則：

■■f（t）dt=f[φ（x）]φ'（x）-f[ψ（x）]ψ'（x）

二、應用

變限函數的導數在微積分中是一個很重要的部分，依據多年的教學經驗，發現學生在解答類似問題時，依然存在很大問題，比如，不知道導數的本質，及無法和其他方法結合來求導。

例1：設函數y=y（x）由方程■e■dt+■sintdt=0所確定。求■。

解：在方程兩邊同時對x求導：

■■e■dt+■■sintdt=0

利用復合函數求導得：

■■e■dt·■+■■sintdt=0

即： e■·（2y）·■+（-sinx）=0

故：■=■。

對于變限函數的復合型函數求導，一般就用復合函數的求導法則對函數兩邊同時求導。

例2：求■■。

分析：這是■型未定式，應用洛必達法則。

解：由■■e■dt=-■■e■dt=-e■（cosx）'=sinx·e■

故：■■=■■=■。

對于變限函數是分式函數求極限時，如果為■型未定式，則可以用洛必達法則分子分母同時求極限求解。

例3：設f（x）在（-∞，+∞）內連續，且f（x）>0，證明函數

F（x）=■在（0，+∞）內為單調增加函數。

證：因為f（x）在（-∞，+∞）內連續，故F（x）在（0，+∞）內可導，所以對F（x）用商的求導法則，可得：

F'（x）=■

=■

由已知條件f（x）>0（x>0），知■f（t）dt>0，又（x-t）f（t）>0，故：■（x-t）f（t）>0，所以F'（x）>0（x>0），故F（x）在（0，+∞）內為單調增加函數。

一元函數微積分中求變限函數的導數是很重要的一個內容，它是聯系前面所學的導數和不定積分以及后續所學的定積分的一個橋梁，所以地位非常重要，在多年的教學實踐中發現，學生對此塊內容的學習存在很多問題，本文重點例舉了學生易犯錯的幾何變限積分的應用，通過上面的分析，加深對變限積分求解的了解。

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