線性變換的矩陣表示

談強 朱鵬

【摘要】研究線性空間的線性變換時，矩陣就會很自然地出現. 本文學習了同一線性空間上線性變換的矩陣表示和不同線性空間之間線性變換的矩陣表示。

【關鍵詞】線性變換 ?矩陣表示

【Abstract】Matrix appears naturally when we study linear transformation in linear space. In this paper， we study matrix representation of linear transformation in the same linear space and matrix representation of linear transformation between different linear spaces.

【Keywords】linear transformation; matrix representation

【基金項目】本文得到國家自然科學基金項目（11701226， 11471145）;江蘇省自然科學基金項目（BK20170519）;“青藍工程”項目資助。

【中圖分類號】O151.2 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0132-02

1.同一線性空間上線性變換的矩陣表示

假設S={v1，v2，…，vn}是n維實線性空間V的一組基。如果α∈V，則一定存在唯一的一組實數α1，α2，…，αn使得α有如下表示α=■αivi。從而我們可定義α在基S下的向量表示為[α]S=（α1，α2，…，αn）。

假設L：V→V是線性空間V上的一個線性變換。所謂V上的線性變換就是滿足下面的線性關系的一個映射[1]：

L（kα+lβ）=kL（α）+lL（β），k，l∈R，α，β∈V

對每一個vj我們均能找到唯一的一組實數{αij}使得滿足L（vj）=■αijvi。

定義1：n×n階矩陣A=（αij）稱為線性變換L：V→V在基S下的矩陣表示。

給定一個向量α=■αivi=α1v1+…+αnvn∈V，由于L是線性的，α的像為L（α）=L（α1v1+…+αnvn）=α1L（v1）+α2L（v2）+…+αnL（vn）=■αjL（vj）=■■αjαijvi。

因此，在選定線性空間V的基S={v1，v2，…，vn}后，L就變成

. L：α=（v1，v2，…，vn）α1α2■αn|→ =（v1，v2，…，vn）Aα1α2■αn

也就是說當基固定或是不考慮基時，一個線性變換L可以簡單地表示成：L：α|→ Aα。這就是說一個線性變換L完全由它的矩陣A決定;反過來，如果給定一個矩陣A，由上面的推導過程我們知道A也可以定義一個線性變換。因此當基選定后，線性空間上的線性變換就和矩陣一一對應起來了[2]。這樣，我們可以通過研究矩陣來研究線性變換。這樣一來就比較直觀，便于操作和計算;同樣地，我們研究矩陣時，如果把每個矩陣看成線性變換，則許多問題就能很好的解決，也便于給出直觀的解釋。下面自然而然引出一個問題：如果我們在線性空間上選取另外一組不同的基，重復上面的推導，則我們也可以用一個矩陣B={bij}表示線性變換L。這時的矩陣A和矩陣B有什么關系呢？下面就來考慮這個問題。

假設T={w1，w2，…，wn}是V的另一組基， α在基T下的表示為α=■biwi. 則我們有如下關系式：

α=（w1，w2，…，wn）b1b2■bn=（v1，v2，…，vn）α1α2■αn，

L（α）=（w1，w2，…，wn）Bb1b2■bn=（v1，v2，…，vn）Aα1α2■αn.

另外，對每一個vi我們均能找到唯一的一組實數{Pij}使得滿足vi=■Pijwj，即（v1，v2，…，vn）=（w1，w2，…，wn）P，其中P={Pij}。 這樣一來我們便可得到如下關系式：

α=（w1，w2，…，wn）b1b2■bn=（w1，w2，…，wn）Pα1α2■αn，

L（α）=（w1，w2，…，wn）Bb1b2■bn=（w1，w2，…，wn）PAα1α2■αn.

從而我們得到α1α2■αn=P-1b1b2■bn和L（α）=（w1，w2，…，wn）Bb1b2■bn=（w1，w2，…，wn）PAα1α2■αn=（w1，w2，…，wn）PAP-1b1b2■bn.

最后我們得到B=PAP-1。也就是說V上的線性變換L在不同基下的矩陣式相似的[3]。

2.不同線性空間之間線性變換的矩陣表示

下面我們考慮不同線性空間之間的線性變換。假設E={e1，e2，…，em}是m維實線性空間W的一組基，L：V→ W是線性空間V到W的一個線性變換。對每一個vj我們均能找到唯一的一組實數{cij}使得滿足L（vj）=■cijei。

定義2：m×n階矩陣稱C=（cij）為線性變換L：V→ W在基S和E下的矩陣表示。

記L（V，W）為線性空間V到W的所有線性變換的集合。另外，對F，G∈L（V，W）和任意實數k，我們定義F+G：V→ W，（F+G）（α）=F（α）+G（α）;kF：V→ W，（kF）（α）=kF（α）。從而易知，在上述運算法則下L（V，W）構成一個線性空間。我們不妨來簡單驗證下。首先，顯然kF：V→ W是一個線性變換。另外，對于任意的實數k，l和α，β∈V，由上述定義，我們可得

（F+G）（kα+lβ）=F（kα+lβ）+G（kα+lβ）

再由F，G是線性的，我們有

F（kα+lβ）+G（kα+lβ）=kF（α）+lF（β）+kG（α）+lG（β）=k（F+G）（α）+l（F+G）（β）

易見，F+G：V→ W是一個線性映射，所以L（V，W）構成一個線性空間。

假設m×n階矩陣A=（αij）和B={bij}分別為線性變換F，G：V→ W在基S和E下的矩陣表示。

按照定義，對每一個vj我們有F（vj）=■αijei和G（vj）=■bijei。這樣一來，我們就有（F+G）（vj）=F（vj）+G（vj）=■αijei+■bijei=（■αij+■bij）ei和（kF）（vj）=kF（vj）=k■αijei。則我們有如下定理[2]：

定理3：F+G：V→ W在基S和E下的矩陣表示為A+B;kF：V→ W在基S和E下的矩陣表示為kA。

3.矩陣表示的意義

假設L：Rn→Rn是線性空間Rn上的一個線性變換。對Rn中的每個向量x，L（x）由Ax計算得到，其中A是n×n矩陣，將這樣一個矩陣變換記為x→Ax。顯然L的值域為A的列向量的所有線性組合的集合。顯然每個矩陣均可定義一個線性變換。知道線性變換的矩陣有什么好處呢？能夠簡化向量轉換的計算過程嗎？能夠方便我們理解向量變換嗎？我們下面看一個例子：

二維向量空間的單位正交基可以用單位矩陣I=■=（e1，e2）表示。同理，三維向量空間的單位正交基也可以用單位矩陣I=■=（■1，■2，■3）表示。設L：R2→R3是線性空間R2和R3之間的一個線性變換，有L（e1）=■， L（e1）=■。則線性變換L：R2→R3在基S和E下的矩陣表示為■。下面我們求R2中的任意一個向量x=■被L變換后的向量。二維向量空間R2中的任何一個向量都是基向量e1和e2的某個線性組合：x=■=x1e1+x2e2。因為L是一個線性變換，所以我們得出：

L（x）=L（x1e1+x2e2）=x1L（e1）+x2L（e2）=（L（e1）L（e2））■=■■

最后結果就很容易得出了L（x）=■=x1（5■1-7■2+2■3）+x2（-3■1+8■2）。可以看到，對任何向量x進行線性變換L的結果向量，是一個對基向量組進行線性變換L之后的新向量組的一個線性組合，系數沒變[4]。這就告訴我們對于線性空間之間的線性變換，我們只要知道線性變換的矩陣表示（即，只需要知道兩組基向量轉換之后的結果），而不用知道轉換本身，我們就能推導出線性空間中所有向量轉換之后的結果。

4.拓展：向量的旋轉變換

從前面幾節的描述，我們得出結論：只要知道線性變換L作用于基向量組的結果，我們就能用一個矩陣來表示這個線性變換。

設L：R3→R3是一個將R3中的三維向量v=■沿x軸順時針旋轉 θ度的變換L（v）=Av，求這個變換矩陣A。L（v）=L（xe1+ye2+ze3）=xL（e1）+yL（e2）+zL（e3）=（L（e1） L（e2） L（e3））■。所以，A=（L（e1） L（e2） L（e3））， 對基向量進行變換， 很直觀的就能得到這個旋轉矩陣：

A=■

同理可以很容易的推出沿其他軸旋轉的旋轉矩陣。

參考文獻：

[1]張禾瑞， 郝柄新. 高等代數（第四版）[M]. 北京： 高等教育出版社， 1997.

[2]許以超.線性代數與矩陣論2版[M]. 北京： 高等教育出版社，2008.

[3]李尚志.《線性代數》新教材教材案例（之二）[J]. 大學數學，2012（4）：5-12.

[4]米山國藏著，毛正中，吳素華譯.數學的精神、思想和方法[M].成都：四川教育出版社，1986.

作者簡介：

談強（1986.01-），男，漢族，江蘇宜興人，博士，講師，江蘇大學理學院教師，研究方向為微分幾何。

朱鵬（1980.07-），男，漢族，江蘇姜堰人，博士，教授，江蘇理工學院教師，研究方向為微分幾何。