二項分布的性質及其在數學上的應用

劉晉源

【摘要】本課題研究如何通過二項分布的性質證明數學分析中的Weierstrass定理。首先給出了概率空間并在其上定義了服從二項分布的隨機變量，然后推導二項分布的數學期望和方差等數字特征，并給出了二項分布可加性的證明。最后利用概率上的方法證明了Weierstrass定理。

【關鍵詞】二項分布 ?數字特征 ?可加性 ?Weierstrass定理

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0134-02

1.前言

伯努利試驗是只有兩種結果的試驗，某事件A發生或者不發生，若事件A發生了，則稱此次試驗成功，否則稱為失敗，且每次試驗成功的概率是相同的。而二項分布就是重復地進行n次相同的伯努利試驗，每次的伯努利試驗都是相互獨立的，與其他各次試驗沒有關系。比如現在有200顆豌豆種子，顏色為黃色的個數服從二項分布;已知肝癌患病率為p，現在調查200人，則此200人中患肝癌的人數服從二項分布;某條街道上共有1000只路燈，一個月之后壞掉的數量也服從二項分布。這都是我們生活中常見的二項分布的例子，也說明了二項分布應用的廣泛性。本文就是研究二項分布的性質以及闡述其在數學上的應用價值。

2.二項分布

2.1 二項分布的建立

為了建立二項分布，我們首先需要建立概率空間，包括樣本空間，事件域和概率測度。現在進行n重伯努利試驗，每次試驗成功，即某事件A發生，記其概率為p。于是樣本空間為Ω={（ω1，ω2，…，ωn）：ωi代表事件A發生或者不發生}，此試驗具有2■個基本結果。若樣本點（ω1，ω2，…，ωn）中只有k個表示事件A發生，其他n-k個表示事件A不發生，則

P（（ω1，ω2，…，ωn））=p■（1-p）■

隨機變量X表示這n重伯努利試驗中成功的次數，于是可令事件域為由隨機變量X生成的σ代數。此時

P（X=k）=■■p■（1-p）■，k=0，1，…，n

這個分布稱為二項分布，記為X～b（n，p），其中■■是組合數。

2.2 二項分布的期望和方差

下面我們推導二項分布的數學期望和方差，主要利用的是組合數的性質。X的數學期望為，

E（X）=■k■■p■（1-p）■=np■■■p■（1-p）■=np

又因為

E（X■）=■k■■■p■（1-p）■=■（k-1+1）k■■p■（1-p）■

=■（k-1）k■■p■（1-p）■+■k■■p■（1-p）■

=■（k-1）k■■p■（1-p）■+np

=n（n-1）p■■■■p■（1-p）■+np=n（n-1）p■+np

于是，二項分布的方差為Var（X）=E（X■）-（E（X））■=np（1-p）。

2.3二項分布的可加性

我們稱服從同一類分布的獨立隨機變量和的分布仍然屬于此類分布的情形為可加性，比如泊松分布具有可加性，下面我們證明二項分布也具有可加性。

定理2.1（二項分布的可加性）設隨機變量X～b（n，p），Y～b（m，p）且X與Y獨立，證明Z=X+Y～b（n+m，p）。

證明：首先隨機變量Z的取值可能為0，1，…n+m等不同的值。然后考慮事件{Z=k}的概率。由于k是總的試驗成功次數，則隨機變量X代表的成功次數最大只能是n和k的最小值。另外由于X取值非負，且最小為k-m，于是：

P（Z=k）=■P（X=i，Y=k-i）

=■P（X=i）P（Y=k-i）

=■■■p■（1-p）■■■p■（1-p）■

=p■（1-p）■■■■■■

由超幾何分布的性質■■■■■■■=■■

于是P（Z=k）=■■p■（1-p）■，k=0，1，…，n+m

這表明Z=X+Y～b（n+m，p）

3.二項分布證明Weierstrass定理

從函數的復雜程度來看，多項式可以認為是最簡單的函數類。用簡單函數去逼近復雜函數無論從理論上還是在實際應用中都是十分重要的。例如我們想要求ln（1+x）在x=0.1處的取值，這樣的任務雖然可以交給計算機解決，但是即使是計算機，應對這樣的計算任務也是需要進行大量的運算的，比如用二分法不斷迭代。但是最簡單的方法莫過于用多項式近似ln（1+x），從而只需要計算多項式的值即可，這樣的任務交給計算機也能大大減少計算量，從而提升運行速度。伍勝健老師的《數學分析》中證明了任何有限閉區間上的連續函數都可以被多項式逼近，但是只是一個存在性的證明，并沒有為我們構造出具有顯式表達式的結果。

定義 3.1 設f（x），fn（x）（n=1，2，…）為定義在I？奐■上的函數。若對于？坌ε>0，存在n∈N當n>N時，對一切x∈I，有

fn（x）-f（x）<ε，

則稱函數序列{fn（x）}在I上一致收斂于f（x），記為fn（x）■f（x）（x∈I）。

定義 3.2 設函數f（x）在區間I上有定義。若對于？坌ε>0存在多項式P（x），使得對于一切x∈I有f（x）-P（x）<ε，則稱f（x）在I上可被多項式逼近。

定理 3.1（Weierstrass定理） 設函數f（x）∈C[a，b]，則f（x）可被多項式逼近。

下面，我們利用二項分布的性質給出上述Weierstrass定理一個概率上的證明，并構造出了具有顯式表達式的結果。為了簡單起見，我們的討論限制在[0，1]上。

定理 3.2 設函數f（x）在[0，1]上連續，對每個正整數n，定義Bn（f，x）=■■■f■x■（1-x）■，證明Bn（f，x）■f（x）（x∈[0，1]）。

證明：Bn（f，x）-f（x）=■■■f■x■（1-x）■-■■■f（x）x■（1-x）■=■■■[f■-f（x）]x■（1-x）■

由于f（x）是[0，1]上的連續函數，從而一致連續。于是對于任意的ε>0，存在δ>0，當x′，x″∈[0，1]，x′-x″<δ時，有f（x′）-f（x″）<■。

則Bn（f，x）-f（x）≤■■■■■f■-f（x）x■（1-x）■=■■■f■-f（x）x■（1-x）■+■■■f■-f（x）x■（1-x）■<■■■■x■（1-x）■+■■■f■-f（x）x■（1-x）■

又因為f（x）的連續性，可知存在M>0使得f（x）≤M，對任意的x∈[0，1]成立。

于是，

■■■f■-f（x）x■（1-x）■≤2M■■■x■（1-x）■≤2M■■■■x■（1-x）■≤■■≤■

上述第三個不等式利用的是二項分布的方差公式，此時取N>■，則當n>N時，

■■■f■-f（x）

從而Bn（f，x）=f（x）

4.總結

本文給出了數學分析中的Weierstrass定理概率上的證明，利用的是二項分布的期望和方差的性質，以及連續函數的有界性和一致連續性。

參考文獻：

[1]茆詩松. 概率論與數理統計簡明教程[M]. 高等教育出版社， 2012.

[2]伍勝健. 數學分析[M]. 北京大學出版社， 2009.