幾種離散型隨機變量母函數探討

李青陽

【摘要】本文主要探討了常見整值隨機變量的母函數。本文第一部分主要給出了整值隨機變量的概念，并給出了整值隨機變量的母函數和數學期望與方差的關系;第二部分主要給出了幾種常見的整值隨機變量的母函數，并通過母函數給出了這幾種隨機變量的數學期望。

【關鍵詞】整值隨機變量 ?母函數 ?數學期望

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0136-02

一、整值隨機變量母函數的概念及性質

本小節主要介紹整值隨機變量和母函數的概念。

我們稱取非負整數值的隨機變量為整值隨機變量。對于整值隨機變量，有一種處理方法很便于利用，這就是母函數法。

定義1 整值隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，…，對應的概率分別為p0，p1，p2…，則稱Pξ（s）=■p■s■為隨機變量ξ的母函數。

關于隨機變量函數的數學期望有一個著名的統計學公式，由定理1給出。

定理1 （佚名統計學公式） 若函數f（x）是一元連續函數，若離散型隨機變量X的可能取值為x0，x1，x2，…，對應的概率分別為p0，p1，p2…，那么新的隨機變量Y=f（X）的數學期望為：

E（Y）=■f（xi）pi

有佚名統計學公式，隨機變量母函數可以改寫為：

Pξ（s）=E（s■）

隨機變量母函數的其中一個應用是求隨機變量的數學期望。首先可以給出隨機變量母函數的導函數：

Pξ′（s）=■kpks■

隨機變量母函數的導函數在1處的導數即為該隨機變量的數學期望：

Pξ′（1）=■kpk=E（ξ）

隨機變量母函數的二階導數和隨機變量的方差存在密切的聯系，首先隨機變量母函數的二階導數為：

Pξ′（s）=■k（k-1）pks■

由佚名統計學公式，隨機變量函數的母函數在1處的二階導數為：

Pξ′（1）=■k（k-1）pk=E[ξ（ξ-1）]=E（ξ■）-E（ξ）

因此隨機變量的方差和母函數的關系為：

D（ξ）=E（ξ■）-E■（ξ）=Pξ′（1）+Pξ′（1）-[P′（1）]■

二、幾種整值隨機變量的母函數推導

（一）二項分布

二項分布是伯努利分布的推廣，在n次伯努利試驗中，我們定義隨機變量X1為某事件A發生的次數，則稱隨機變量X1服從二項分布，記作X1～B（n，p）。

隨機變量X1的概率分布為：

P（X1=k）=C■■p■（1-p）■，k=0，1，2，…，n

二項分布的母函數為：

P■（s）=E（s■）=■C■■p■（1-p）■s■=■C■■（sp）■（1-p）■=（1-p+sp）■

由二項分布的母函數可以給出二項分布的數學期望為：

P′■（s）=np（1-p+sp）■

因此二項分布的數學期望為：

E（X1）=P′■（1）=np

（二）超幾何分布

假定在N件產品中有M件次品，其余產品為正品，在N件產品中隨機抽取n件產品，記X2為次品件數，則稱隨機變量X2服從超幾何分布，記作X2～H（N，n，M）。

超幾何分布的概率分布為：

P（X2=k）=■

其中，k∈{0，1，2，…，min{n，M}}

超幾何分布的母函數為：

P■（s）=E（s■）=■■s■

這是超幾何級數，是一種特殊函數，處理起來不太方便，在概率論中也很少用，這不再計算最終公式。

（三）泊松分布

假設隨機變量X3的可能取值為一切非負整數值，并且，

P（X3=k）=■e■，k=0，1，2，…

其中，λ>0，為常數，則稱隨機變量X3服從泊松分布，記作X3～P（λ■■）。

泊松分布的母函數為：

P■（s）=E（s■）=■■e■s■=e■■■=e■e■=e■

泊松分布母函數的導函數為：

P′■（s）=λe■

泊松分布的數學期望為：

E（X3）=P′■（1）=λ

（四）幾何分布

進行重復、獨立的伯努利試驗，設每次試驗成功的概率為p，若將試驗進行到有一次成功為止，以隨機變量X4表示所需試驗次數，則稱X4服從幾何分布，記作X4～G（p）。

幾何分布的概率分布為：

P（X4=k）=（1-p）■p

其中，k=1，2，3，…

幾何分布的母函數為：

P■（s）=E（s■）=■（1-p）■ps■=ps■[s（1-p）]■=■

幾何分布母函數的導數為：

P′■（s）=■

所以幾何分布的數學期望為：

E（X4）=P′■（1）=■

三、結束語

隨機變量的母函數對于隨機變量重要數字特征的計算是非常重要的。很多隨機變量的數學期望和方差的計算是比較復雜的，引入隨機變量母函數的概念以后，隨機變量的數學期望和方差變得簡單了很多，但是隨機變量的母函數的缺點也比較大，因為只有整值隨機變量才有母函數的概念，因此應用范圍也是比較有限的。

參考文獻：

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